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名古屋大学 1995年文系第1問解説

方針・初手

円 $C_1, C_2$ の中心と半径を把握し、与えられた条件から円 $C$ の中心 $P$ の座標と半径 $r$ についての関係式を立てる。条件 (b) の「線分と $x$ 軸の正の部分とのなす角」という表現は、幾何的なベクトルのなす角と捉えるのが自然であり、第1象限だけでなく第4象限の方向も考慮する必要がある。

解法1

円 $C_1$ の方程式は $x^2 + y^2 = 1$ であるから、中心は原点 $O(0, 0)$、半径は $1$ である。円 $C_2$ の方程式は $x^2 - 6x + y^2 + 5 = 0$ より、 $$(x - 3)^2 + y^2 = 4$$ と変形できるから、中心を $A$ とすると $A(3, 0)$ であり、半径は $2$ である。

条件 (b) より、原点 $O$ と点 $P$ を結ぶ線分（ベクトル $\vec{OP}$）と $x$ 軸の正の部分のなす角が $60^\circ$ である。したがって、原点からの距離を $R \ (R > 0)$ とすると、点 $P$ の極座標は $(R, 60^\circ)$ または $(R, -60^\circ)$ と表せる。これより、$t > 0$ なる実数 $t$ を用いて、点 $P$ の座標は $$P(t, \pm \sqrt{3}t)$$ とおくことができる。

条件 (a) より、円 $C$（中心 $P$、半径 $r$）は円 $C_1$ と外接するので、中心間の距離について $$OP = r + 1$$ が成り立つ。ここで、点 $P$ の $y$ 座標の符号によらず、 $$OP = \sqrt{t^2 + (\pm \sqrt{3}t)^2} = \sqrt{4t^2} = 2t$$ となる（$t > 0$ より）。したがって、 $$2t = r + 1 \iff r = 2t - 1$$ となる。円 $C$ の半径について $r > 0$ であるから、$2t - 1 > 0$ より $t > \frac{1}{2}$ である。

また、円 $C$ は円 $C_2$ とも外接するので、中心間の距離について $$AP = r + 2$$ が成り立つ。ここで、$AP^2$ を計算すると、点 $P$ の $y$ 座標の符号によらず、 $$AP^2 = (t - 3)^2 + (\pm \sqrt{3}t - 0)^2 = t^2 - 6t + 9 + 3t^2 = 4t^2 - 6t + 9$$ となる。一方で、$AP = r + 2 = (2t - 1) + 2 = 2t + 1$ であり、$t > \frac{1}{2}$ のとき $2t + 1 > 0$ を満たす。よって、$AP^2 = (2t + 1)^2$ が成り立つので、 $$4t^2 - 6t + 9 = 4t^2 + 4t + 1$$ $$-10t = -8$$ $$t = \frac{4}{5}$$ を得る。これは $t > \frac{1}{2}$ を満たす。

このとき、円 $C$ の半径 $r$ は $$r = 2 \cdot \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}$$ となり、中心 $P$ の座標は $$P \left( \frac{4}{5}, \pm \frac{4\sqrt{3}}{5} \right)$$ となる。

解説

2円に外接する円の中心の軌跡を問う、図形と方程式の標準的な問題である。2円の中心がともに $x$ 軸上に存在するため、立式後の計算が容易に処理できる。条件 (b) の「なす角が $60^\circ$」という条件を正しく解釈し、$x$ 軸に関して対称な2点が条件を満たすこと（第4象限に位置する点も解として適すること）を見落とさないように注意したい。