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東京工業大学 1972年理系第4問解説

方針・初手

絶対値を含む定積分の問題では、被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分割し、絶対値を外すことが基本である。本問では $f'(x) > 0$ より $f(x)$ が単調増加であることを利用する。その後、定積分で表された関数 $F(x)$ を $x$ について微分し、導関数の符号変化から増減を調べて最小値を与える $x$ の値を求める。

解法1

関数 $f(x)$ は区間 $a \leqq x \leqq b$ において $f'(x) > 0$ を満たすため、この区間で単調増加関数である。変数 $x$ が $a \leqq x \leqq b$ の範囲にあるとき、積分変数 $t$ が $a \leqq t \leqq b$ を動く間、$f(t) - f(x)$ の符号は以下のようになる。

$a \leqq t \leqq x$ のとき、$t \leqq x$ より $f(t) \leqq f(x)$ となるため、$f(t) - f(x) \leqq 0$
$x \leqq t \leqq b$ のとき、$x \leqq t$ より $f(x) \leqq f(t)$ となるため、$f(t) - f(x) \geqq 0$

したがって、積分区間を $t=x$ で分割することで、$F(x)$ の絶対値を外すことができる。

$$ F(x) = \int_{a}^{x} \{ -(f(t) - f(x)) \} dt + \int_{x}^{b} \{ f(t) - f(x) \} dt $$

これを $x$ の関数として微分しやすくするために、$t$ に無関係な $f(x)$ を積分の外に出して整理する。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_{a}^{x} \{ f(x) - f(t) \} dt + \int_{x}^{b} \{ f(t) - f(x) \} dt \\ &= f(x) \int_{a}^{x} 1 dt - \int_{a}^{x} f(t) dt + \int_{x}^{b} f(t) dt - f(x) \int_{x}^{b} 1 dt \\ &= f(x)(x - a) - \int_{a}^{x} f(t) dt + \int_{x}^{b} f(t) dt - f(x)(b - x) \end{aligned} $$

次に、$F(x)$ を $x$ について微分する。積の微分法と、定積分で表された関数の微分の性質 $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt = f(x)$、$\frac{d}{dx} \int_{x}^{b} f(t)dt = -f(x)$ を用いる。

$$ \begin{aligned} F'(x) &= \{ f'(x)(x - a) + f(x) \cdot 1 \} - f(x) + (-f(x)) - \{ f'(x)(b - x) + f(x) \cdot (-1) \} \\ &= f'(x)(x - a) + f(x) - f(x) - f(x) - f'(x)(b - x) + f(x) \\ &= f'(x)(x - a) - f'(x)(b - x) \\ &= f'(x) \{ (x - a) - (b - x) \} \\ &= f'(x) (2x - a - b) \end{aligned} $$

問題の条件より $f'(x) > 0$ であるから、$F'(x)$ の符号は $2x - a - b$ の符号と一致する。 $F'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めると、

$$ 2x - a - b = 0 \iff x = \frac{a+b}{2} $$

$x = \frac{a+b}{2}$ は区間 $a \leqq x \leqq b$ の中点である。$a \leqq x \leqq b$ における $F'(x)$ の符号変化を調べると、

$a \leqq x < \frac{a+b}{2}$ のとき、$2x - a - b < 0$ より $F'(x) < 0$
$x = \frac{a+b}{2}$ のとき、$F'(x) = 0$
$\frac{a+b}{2} < x \leqq b$ のとき、$2x - a - b > 0$ より $F'(x) > 0$

したがって、$F(x)$ は $x = \frac{a+b}{2}$ で極小かつ最小となる。

解説

定積分で表された関数の最小値を求める標準的な問題である。被積分関数の絶対値を外すために、$f(x)$ の単調増加性を利用して積分区間を分割する発想が第一歩となる。微分を実行する際は、被積分関数に含まれる $x$ を積分の外にくくり出してから計算する必要がある。このとき、積の微分法や $\int_{x}^{b} f(t)dt$ の微分で符号のミスが起こりやすいため、丁寧に展開することが重要である。