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名古屋大学 1974年理系第5問解説

方針・初手

(1) は定積分で表された不等式の証明である。両辺の差をとり、積分記号を1つにまとめて被積分関数の符号を評価する。積分変数 $t$ と積分の上端 $x$ を混同しないように注意し、$g(x)$ を $t$ に無関係な定数とみなして積分の中に入れるのがポイントである。

(2) は関数の増減に関する問題である。微分法を用いて導関数を計算し、その符号が (1) の不等式と結びつくことを利用するのが定石である。または、増加関数の定義に従って $x_1 < x_2$ のときの関数の値の差を直接評価する方法も考えられる。

解法1

(1)

$g(x)S(x) - T(x)$ を計算する。$x > 0$ に対して、$g(x)$ は積分変数 $t$ に依存しないため、積分の中に入れることができる。

$$ \begin{aligned} g(x)S(x) - T(x) &= g(x) \int_0^x f(t)dt - \int_0^x f(t)g(t)dt \\ &= \int_0^x g(x)f(t)dt - \int_0^x f(t)g(t)dt \\ &= \int_0^x \{g(x) - g(t)\}f(t)dt \end{aligned} $$

$x > 0$ における積分区間は $0 \leqq t \leqq x$ である。 $g(x)$ は増加関数であるから、$t \leqq x$ のとき $g(t) \leqq g(x)$、すなわち $g(x) - g(t) \geqq 0$ が成り立つ。また、前提条件より $f(t) > 0$ である。したがって、$0 \leqq t \leqq x$ において被積分関数について次が成り立つ。

$$ \{g(x) - g(t)\}f(t) \geqq 0 $$

よって、その定積分も $0$ 以上となる。

$$ \int_0^x \{g(x) - g(t)\}f(t)dt \geqq 0 $$

以上より、$g(x)S(x) - T(x) \geqq 0$ すなわち $T(x) \leqq g(x)S(x)$ が証明された。

(2)

$f(t), g(t)$ は連続関数であるから、これを積分して得られる $S(x), T(x)$ は微分可能であり、微分積分学の基本定理より以下が成り立つ。

$$ S'(x) = f(x), \quad T'(x) = f(x)g(x) $$

また、$x > 0$ において $f(t) > 0$ であるから、その積分である $S(x)$ も正の値をとる。

$$ S(x) = \int_0^x f(t)dt > 0 $$

$H(x) = \frac{T(x)}{S(x)}$ とおき、商の微分法を用いて $H'(x)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} H'(x) &= \frac{T'(x)S(x) - T(x)S'(x)}{\{S(x)\}^2} \\ &= \frac{f(x)g(x)S(x) - T(x)f(x)}{\{S(x)\}^2} \\ &= \frac{f(x)\{g(x)S(x) - T(x)\}}{\{S(x)\}^2} \end{aligned} $$

ここで、$x > 0$ において $f(x) > 0$ であり、分母について $\{S(x)\}^2 > 0$ である。さらに (1) の結果から $g(x)S(x) - T(x) \geqq 0$ であるから、次が成り立つ。

$$ H'(x) \geqq 0 $$

関数 $H(x)$ は $x > 0$ において常に $H'(x) \geqq 0$ を満たすから、平均値の定理より $0 < x_1 < x_2$ を満たす任意の $x_1, x_2$ に対して $H(x_1) \leqq H(x_2)$ が成り立つ。すなわち、$\frac{T(x)}{S(x)}$ は $x > 0$ で増加関数である。

解法2

(2の別解)

増加関数の定義に従って直接示す。 $0 < x_1 < x_2$ を満たす任意の $x_1, x_2$ に対して、$\frac{T(x_2)}{S(x_2)} - \frac{T(x_1)}{S(x_1)} \geqq 0$ を示せばよい。通分すると次のようになる。

$$ \frac{T(x_2)}{S(x_2)} - \frac{T(x_1)}{S(x_1)} = \frac{T(x_2)S(x_1) - T(x_1)S(x_2)}{S(x_1)S(x_2)} $$

$x > 0$ において $f(t) > 0$ であるから、$S(x_1) > 0, S(x_2) > 0$ であり分母は正である。したがって、分子が $0$ 以上であることを示す。積分の加法性より、$T(x_2)$ と $S(x_2)$ を区間 $[0, x_1]$ と $[x_1, x_2]$ に分ける。

$$ \begin{aligned} T(x_2)S(x_1) - T(x_1)S(x_2) &= \left( T(x_1) + \int_{x_1}^{x_2} f(t)g(t)dt \right) S(x_1) - T(x_1) \left( S(x_1) + \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt \right) \\ &= S(x_1) \int_{x_1}^{x_2} f(t)g(t)dt - T(x_1) \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \{ S(x_1)g(t) - T(x_1) \} f(t)dt \end{aligned} $$

積分区間 $x_1 \leqq t \leqq x_2$ において、$t \geqq x_1$ であり $g$ は増加関数であるから、$g(t) \geqq g(x_1)$ である。 $S(x_1) > 0$ を両辺にかけて次を得る。

$$ S(x_1)g(t) \geqq S(x_1)g(x_1) $$

(1) の結果より、$x_1 > 0$ において $g(x_1)S(x_1) \geqq T(x_1)$ であるから、これを組み合わせる。

$$ S(x_1)g(t) \geqq S(x_1)g(x_1) \geqq T(x_1) $$

すなわち $S(x_1)g(t) - T(x_1) \geqq 0$ が成り立つ。 $f(t) > 0$ とあわせて、被積分関数は常に $0$ 以上となる。

$$ \{ S(x_1)g(t) - T(x_1) \} f(t) \geqq 0 $$

被積分関数が $0$ 以上であるから、その定積分も $0$ 以上である。

$$ \int_{x_1}^{x_2} \{ S(x_1)g(t) - T(x_1) \} f(t)dt \geqq 0 $$

よって分子が $0$ 以上となるため、$\frac{T(x_2)}{S(x_2)} - \frac{T(x_1)}{S(x_1)} \geqq 0$ が示された。これは $\frac{T(x)}{S(x)}$ が増加関数であることを意味する。

解説

関数の積の積分に関する不等式の証明問題であり、のちにチェビシェフの不等式と呼ばれる有名な性質の連続版（の特別な場合）にあたる。定積分を伴う不等式証明では、「積分区間が等しいなら中身をまとめる」「定数は積分の中に入れる（あるいは外に出す）」という操作を行い、被積分関数自身の符号を調べるのが基本方針である。 (2)において微分の結果が常に $0$ 以上であることから増加関数であることを導く際、問題文で定義されている「増加関数」が広義の単調増加（$=$が許される増加）であることに留意する。