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名古屋大学 2002年文系第1問解説

方針・初手

累乗根を含む式の大小比較問題である。式のかたちから、関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{5}}$ または $g(x) = x^{\frac{1}{5}}$ を設定し、微積分を用いて不等式を証明する方針が有効である。関数の凸性と接線の関係を利用するか、平均値の定理を利用することで簡明に大小関係を導くことができる。また、微積分を用いずに二項定理を展開して不等式評価を行うアプローチも可能である。

解法1

関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{5}}$ （$x \ge -1$）を考える。

$x > -1$ において導関数と第2次導関数を求めると、 $$f'(x) = \frac{1}{5}(1+x)^{-\frac{4}{5}}$$

$$f''(x) = -\frac{4}{25}(1+x)^{-\frac{9}{5}}$$

$x > -1$ のとき常に $f''(x) < 0$ であるから、曲線 $y=f(x)$ は上に凸である。

曲線上の点 $(0, f(0))$ すなわち $(0, 1)$ における接線の方程式を求める。 $f'(0) = \frac{1}{5}$ より、接線は $$y = 1 + \frac{1}{5}x$$ となる。

曲線 $y=f(x)$ が上に凸であることから、接点以外の点では曲線は接線の下側にある。したがって、$x \ge -1$ かつ $x \neq 0$ を満たす任意の $x$ について、次の不等式が成り立つ。 $$(1+x)^{\frac{1}{5}} < 1 + \frac{1}{5}x$$

$n$ は自然数であるから $\frac{1}{n} > 0$ であり、$x = \frac{1}{n}$ を代入すると、 $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{5}} < 1 + \frac{1}{5n}$$

$$\sqrt[5]{1+\frac{1}{n}} - 1 < \frac{1}{5n}$$ $a = \sqrt[5]{1+\frac{1}{n}} - 1$、$c = \frac{1}{5n}$ であるから、$a < c$ が得られる。

また、$n \ge 1$ より $-\frac{1}{n} \ge -1$ であり、かつ $-\frac{1}{n} \neq 0$ である。したがって、$x = -\frac{1}{n}$ を先ほどの不等式に代入すると、 $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{5}} < 1 - \frac{1}{5n}$$

移項して整理すると、 $$\frac{1}{5n} < 1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{5}}$$

$$\frac{1}{5n} < 1 - \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}$$ $b = 1 - \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}$ であるから、$c < b$ が得られる。

以上より、$a < c < b$ となる。

解法2

関数 $g(x) = x^{\frac{1}{5}}$ （$x \ge 0$）を考える。

$x > 0$ において、 $$g'(x) = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$$ であり、$x > 0$ において $g'(x)$ は単調減少する。

$n$ は自然数とする。区間 $\left[1, 1+\frac{1}{n}\right]$ において平均値の定理を用いると、 $$\frac{g\left(1+\frac{1}{n}\right) - g(1)}{\left(1+\frac{1}{n}\right) - 1} = g'(c_1)$$ を満たす実数 $c_1$ が $1 < c_1 < 1+\frac{1}{n}$ の範囲に存在する。左辺を整理すると、 $$\frac{\sqrt[5]{1+\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} = n \left( \sqrt[5]{1+\frac{1}{n}} - 1 \right) = na$$ となるため、$na = g'(c_1)$ （$c_1 > 1$）である。

次に、区間 $\left[1-\frac{1}{n}, 1\right]$ を考える。$n$ は自然数より $1-\frac{1}{n} \ge 0$ である。関数 $g(x)$ は区間 $\left[1-\frac{1}{n}, 1\right]$ で連続、区間 $\left(1-\frac{1}{n}, 1\right)$ で微分可能であるから、平均値の定理を用いると、 $$\frac{g(1) - g\left(1-\frac{1}{n}\right)}{1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)} = g'(c_2)$$ を満たす実数 $c_2$ が $1-\frac{1}{n} < c_2 < 1$ の範囲に存在する。左辺を整理すると、 $$\frac{1 - \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}} = n \left( 1 - \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}} \right) = nb$$ となるため、$nb = g'(c_2)$ （$c_2 < 1$）である。

また、$g'(1) = \frac{1}{5}$ である。 $g'(x)$ は $x > 0$ で単調減少であり、$c_2 < 1 < c_1$ であるから、 $$g'(c_1) < g'(1) < g'(c_2)$$ が成り立つ。これに各値を代入すると、 $$na < \frac{1}{5} < nb$$

$n > 0$ であるから、各辺を $n$ で割ると、 $$a < \frac{1}{5n} < b$$ $c = \frac{1}{5n}$ より、$a < c < b$ となる。

解法3

二項定理を用いて代数的に評価する。 $a = \sqrt[5]{1+\frac{1}{n}} - 1$ より、 $$(1+a)^5 = 1+\frac{1}{n}$$

$n$ は自然数であるから、$a > 0$ である。左辺を二項定理で展開すると、 $$1 + 5a + 10a^2 + 10a^3 + 5a^4 + a^5 = 1 + \frac{1}{n}$$

$a > 0$ より $10a^2 + 10a^3 + 5a^4 + a^5 > 0$ であるから、 $$1 + 5a < 1 + \frac{1}{n}$$

$$5a < \frac{1}{n}$$

$$a < \frac{1}{5n}$$ $c = \frac{1}{5n}$ より、$a < c$ となる。

次に、$b = 1 - \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}$ と $c$ の大きさを比較する。

(i) $n=1$ のとき $b = 1 - \sqrt[5]{0} = 1$、$c = \frac{1}{5}$ である。よって、$c < b$ が成り立つ。

(ii) $n \ge 2$ のとき $b = 1 - \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}$ より、 $$1-b = \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}$$

両辺を5乗すると、 $$(1-b)^5 = 1-\frac{1}{n}$$

$n \ge 2$ より $0 < 1-\frac{1}{n} < 1$ であるから、$0 < 1-b < 1$ より $0 < b < 1$ である。左辺を展開して整理すると、 $$1 - 5b + 10b^2 - 10b^3 + 5b^4 - b^5 = 1 - \frac{1}{n}$$

$$\frac{1}{n} - 5b = -10b^2 + 10b^3 - 5b^4 + b^5$$

$$\frac{1}{n} - 5b = -b^2 (10 - 10b + 5b^2 - b^3)$$

ここで、括弧内の式を変形すると、 $$10 - 10b + 5b^2 - b^3 = 10(1-b) + b^2(5-b)$$ $0 < b < 1$ であるから、$1-b > 0$ かつ $5-b > 0$ となり、上式は正である。また $b > 0$ より $-b^2 < 0$ であるから、 $$-b^2 (10 - 10b + 5b^2 - b^3) < 0$$

したがって、 $$\frac{1}{n} - 5b < 0$$

$$\frac{1}{5n} < b$$ $c = \frac{1}{5n}$ より、$c < b$ となる。

(i)、(ii) いずれの場合も $c < b$ が成り立つ。

以上より、$a < c < b$ である。

解説

微積分を用いた不等式評価の代表的な手法（接線の利用、平均値の定理の利用）と、代数的な展開（二項定理の利用）の複数の視点からアプローチできる良問である。解法1の関数の凸性と接線を用いる方法は、図形的な意味が明確であり、計算量も少なく推奨される方針である。解法2の平均値の定理は、関数の値の差を導関数の値に帰着させて評価する定石であり、大小比較の問題で頻出の手法である。解法3は微積分を未習であっても解答可能なアプローチであるが、$b$ と $c$ の比較において不等式の評価に工夫と場合分けが必要となる点に注意したい。