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名古屋大学 1978年理系第5問解説

方針・初手

定積分 $I$ の被積分関数 $(px + q - \log x)$ は、条件 $px + q \geqq \log x$ により区間 $a \leqq x \leqq b$ において常に $0$ 以上である。 $p$ を固定して考えたとき、$I$ を最小にするには、条件 $px + q \geqq \log x$ を保ったまま $q$ をできるだけ小さくすればよい。これは、$q$ の最小値が関数 $f(x) = \log x - px$ の区間 $a \leqq x \leqq b$ における最大値であることを意味する。 $p$ の値によって $f(x)$ が最大となる $x$ の位置が変わるため、$p$ について場合分けを行って $I$ を $p$ の関数として表し、さらにその最小値を求める。

解法1

$p$ を固定して考える。条件 $px + q \geqq \log x$ より、$q \geqq \log x - px$ が $a \leqq x \leqq b$ を満たすすべての $x$ について成り立つ。定積分 $I = \int_a^b (px + q - \log x) dx$ を最小にするには、$q$ を最小にすればよい。したがって、区間 $a \leqq x \leqq b$ における関数 $f(x) = \log x - px$ の最大値を $M(p)$ とすると、$q = M(p)$ のときに $I$ は最小となる。このときの $I$ を $p$ の関数 $I(p)$ とおく。

$f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = \frac{1}{x} - p $$

である。$p$ の値によって最大値をとる $x$ の位置が変わるため、以下のように場合分けをする。

(i) $p \leqq \frac{1}{b}$ のとき

区間 $a \leqq x \leqq b$ において $x \leqq b$ であるから、$\frac{1}{x} \geqq \frac{1}{b} \geqq p$ となる。したがって $f'(x) \geqq 0$ となり、$f(x)$ は単調増加する。（厳密には $x < b$ で $f'(x) > 0$）よって、$x = b$ で最大値 $M(p) = \log b - pb$ をとる。このとき $q = \log b - pb$ であり、

$$ I(p) = \int_a^b (px + \log b - pb - \log x) dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{2}px^2 + (\log b - pb)x \right]_a^b - \int_a^b \log x dx $$

$$ = \frac{1}{2}p(b^2 - a^2) + (\log b - pb)(b - a) - \int_a^b \log x dx $$

これを $p$ について微分すると、

$$ I'(p) = \frac{1}{2}(b^2 - a^2) - b(b - a) = (b - a) \left( \frac{a+b}{2} - b \right) = -\frac{1}{2}(b - a)^2 < 0 $$

よって、この範囲で $I(p)$ は単調減少する。

(ii) $\frac{1}{b} < p < \frac{1}{a}$ のとき

$f'(x) = 0$ となる $x = \frac{1}{p}$ が区間 $a < x < b$ 内に存在する。 $x < \frac{1}{p}$ では $f'(x) > 0$、$x > \frac{1}{p}$ では $f'(x) < 0$ となるため、$f(x)$ は $x = \frac{1}{p}$ で極大かつ最大となる。最大値は $M(p) = f\left(\frac{1}{p}\right) = \log \frac{1}{p} - p \cdot \frac{1}{p} = -\log p - 1$ である。このとき $q = -\log p - 1$ であり、

$$ I(p) = \int_a^b (px - \log p - 1 - \log x) dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{2}px^2 + (-\log p - 1)x \right]_a^b - \int_a^b \log x dx $$

$$ = \frac{1}{2}p(b^2 - a^2) - (\log p + 1)(b - a) - \int_a^b \log x dx $$

これを $p$ について微分すると、

$$ I'(p) = \frac{1}{2}(b^2 - a^2) - \frac{1}{p}(b - a) = (b - a) \left( \frac{a+b}{2} - \frac{1}{p} \right) $$

$I'(p) = 0$ となるのは $p = \frac{2}{a+b}$ のときである。 $0 < a < b$ より $a < \frac{a+b}{2} < b$ であるから、$\frac{1}{b} < \frac{2}{a+b} < \frac{1}{a}$ を満たし、この値はこの場合分けの範囲内に適する。 $p < \frac{2}{a+b}$ のとき $\frac{1}{p} > \frac{a+b}{2}$ より $I'(p) < 0$、 $p > \frac{2}{a+b}$ のとき $\frac{1}{p} < \frac{a+b}{2}$ より $I'(p) > 0$ となる。よって、$I(p)$ は $p = \frac{2}{a+b}$ で極小かつ最小となる。

(iii) $p \geqq \frac{1}{a}$ のとき

区間 $a \leqq x \leqq b$ において $x \geqq a$ であるから、$\frac{1}{x} \leqq \frac{1}{a} \leqq p$ となる。したがって $f'(x) \leqq 0$ となり、$f(x)$ は単調減少する。よって、$x = a$ で最大値 $M(p) = \log a - pa$ をとる。このとき $q = \log a - pa$ であり、

$$ I(p) = \int_a^b (px + \log a - pa - \log x) dx $$

$$ = \frac{1}{2}p(b^2 - a^2) + (\log a - pa)(b - a) - \int_a^b \log x dx $$

これを $p$ について微分すると、

$$ I'(p) = \frac{1}{2}(b^2 - a^2) - a(b - a) = (b - a) \left( \frac{a+b}{2} - a \right) = \frac{1}{2}(b - a)^2 > 0 $$

よって、この範囲で $I(p)$ は単調増加する。

(i), (ii), (iii) の結果より、$I$ は $p = \frac{2}{a+b}$ のとき最小値をとることがわかる。このときの $q$ の値は、

$$ q = -\log \left(\frac{2}{a+b}\right) - 1 = \log \frac{a+b}{2} - 1 $$

である。最後に、そのときの $I$ の最小値を求める。

$$ \int_a^b \log x dx = \left[ x \log x - x \right]_a^b = b \log b - a \log a - (b - a) $$

であるから、最小値 $I$ は、

$$ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{a+b} (b^2 - a^2) + \left( \log \frac{a+b}{2} - 1 \right)(b - a) - \int_a^b \log x dx $$

$$ = (b - a) + (b - a) \log \frac{a+b}{2} - (b - a) - \{ b \log b - a \log a - (b - a) \} $$

$$ = (b - a) \log \frac{a+b}{2} - b \log b + a \log a + b - a $$

となる。

解説

図形的な意味を考えると方針が立てやすい問題である。条件 $px+q \geqq \log x$ は、区間 $a \leqq x \leqq b$ において直線 $y=px+q$ が曲線 $y=\log x$ の上側（または境界上）にあることを意味する。そして、定積分 $I$ は直線と曲線で囲まれた部分の面積を表している。曲線 $y=\log x$ は上に凸な関数であるから、面積を最小にする直線は、曲線に「最も近づいた」状態、すなわち区間内のどこかで曲線に接する状態になることが直感的に予想される。本問の解法では、その直感に頼らず「各 $p$ について面積を最小にする $q$ を設定し、さらにそれを $p$ について動かす」という2変数関数の最小化の定石（1文字固定法）を用いて厳密に証明している。結果として面積を最小にする直線は、区間の中点 $x = \frac{a+b}{2}$ における $y = \log x$ の接線であることが示された。