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名古屋大学 1982年理系第4問解説

方針・初手

与えられた曲線の方程式 $x^3 - 2xy + y^2 = 0$ をどう扱うかが鍵となる。 $y$ についての2次方程式と見なして $y$ を $x$ の関数として表す方法と、$y = tx$ とおいて媒介変数表示に持ち込む方法がある。どちらの方針でも、$x \geqq 0$ の条件から曲線が存在する範囲（定義域）を正しく求めることが第一歩である。

解法1

与えられた方程式を $y$ についての2次方程式とみる。

$$ y^2 - 2xy + x^3 = 0 $$

これを $y$ について解くと、解の公式より

$$ y = x \pm \sqrt{x^2 - x^3} = x \pm \sqrt{x^2(1 - x)} $$

$x \geqq 0$ であるから $\sqrt{x^2} = x$ となり、

$$ y = x \pm x\sqrt{1 - x} $$

実数 $y$ が存在するためには、根号の中が $0$ 以上でなければならない。

$$ 1 - x \geqq 0 \iff x \leqq 1 $$

問題の条件 $x \geqq 0$ と合わせると、曲線 $C$ が存在する $x$ の範囲は $0 \leqq x \leqq 1$ である。したがって、$x$ 座標の最大値は $x = 1$ である。このとき、$y = 1 \pm 1\sqrt{0} = 1$ となるため、$x$ 座標が最大の点は $(1, 1)$ である。

次に、$y$ 座標の最大値を考える。 $0 \leqq x \leqq 1$ において $x\sqrt{1 - x} \geqq 0$ であるから、$y$ 座標が最大になり得る関数は符号が正の場合である。

$$ f(x) = x + x\sqrt{1 - x} $$

とおき、$0 < x < 1$ の範囲で微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1 + 1 \cdot \sqrt{1 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \cdot (-1) \\ &= 1 + \sqrt{1 - x} - \frac{x}{2\sqrt{1 - x}} \\ &= \frac{2\sqrt{1 - x} + 2(1 - x) - x}{2\sqrt{1 - x}} \\ &= \frac{2\sqrt{1 - x} + 2 - 3x}{2\sqrt{1 - x}} \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ とすると、分子が $0$ になるので

$$ 2\sqrt{1 - x} = 3x - 2 $$

左辺は $0$ 以上であるから、右辺も $0$ 以上でなければならない。すなわち $x \geqq \frac{2}{3}$ である。この条件のもとで両辺を2乗する。

$$ \begin{aligned} 4(1 - x) &= (3x - 2)^2 \\ 4 - 4x &= 9x^2 - 12x + 4 \\ 9x^2 - 8x &= 0 \\ x(9x - 8) &= 0 \end{aligned} $$

$x \geqq \frac{2}{3}$ より、$x = \frac{8}{9}$ となる。 $x = \frac{8}{9}$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負へと変化するため、ここで極大かつ最大となる。このときの $y$ 座標は

$$ f\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{8}{9} + \frac{8}{9}\sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{8}{9} + \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{27} $$

したがって、$y$ 座標が最大の点は $\left(\frac{8}{9}, \frac{32}{27}\right)$ である。

最後に、曲線 $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。曲線 $C$ の上側の部分は $y = x + x\sqrt{1 - x}$、下側の部分は $y = x - x\sqrt{1 - x}$ であるため、面積 $S$ は上下の曲線の差を $0$ から $1$ まで積分して得られる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{1} \left\{ (x + x\sqrt{1 - x}) - (x - x\sqrt{1 - x}) \right\} dx \\ &= \int_{0}^{1} 2x\sqrt{1 - x} \, dx \end{aligned} $$

ここで、$\sqrt{1 - x} = t$ と置換する。両辺を2乗して $1 - x = t^2$ より $x = 1 - t^2$、微分して $dx = -2t \, dt$。 $x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $1$ から $0$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{1}^{0} 2(1 - t^2)t \cdot (-2t) \, dt \\ &= \int_{0}^{1} 4t^2(1 - t^2) \, dt \\ &= \int_{0}^{1} (4t^2 - 4t^4) \, dt \\ &= \left[ \frac{4}{3}t^3 - \frac{4}{5}t^5 \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{4}{3} - \frac{4}{5} \\ &= \frac{8}{15} \end{aligned} $$

解法2

曲線の方程式 $x^3 - 2xy + y^2 = 0$ において、$y = tx$ とおく。

$$ x^3 - 2x(tx) + (tx)^2 = 0 $$

$$ x^2(x - 2t + t^2) = 0 $$

$x = 0$ のときは原点 $(0, 0)$ を表す。$x \neq 0$ のとき、

$$ x = -t^2 + 2t $$

これと $y = tx$ より、曲線上の点は媒介変数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \begin{cases} x(t) = -t^2 + 2t \\ y(t) = -t^3 + 2t^2 \end{cases} $$

$x \geqq 0$ の条件から、$-t^2 + 2t \geqq 0$ より $t(t - 2) \leqq 0$ となり、$t$ の範囲は $0 \leqq t \leqq 2$ となる。（なお $t=0, 2$ のとき $x=0, y=0$ となり原点を含むため、これで曲線 $C$ 全体を表せる）

$x$ 座標について、

$$ x(t) = -(t - 1)^2 + 1 $$

$0 \leqq t \leqq 2$ であるから、$t = 1$ のときに $x$ 座標は最大値 $1$ をとる。このとき、$y(1) = -1^3 + 2 \cdot 1^2 = 1$。よって、$x$ 座標が最大の点は $(1, 1)$ である。

$y$ 座標について、$y(t)$ を微分する。

$$ y'(t) = -3t^2 + 4t = -t(3t - 4) $$

$0 < t < 2$ において $y'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{4}{3}$ のときである。 $t = \frac{4}{3}$ の前後で $y'(t)$ は正から負へ変わるため、ここで $y$ は最大となる。このとき、

$$ \begin{aligned} x\left(\frac{4}{3}\right) &= -\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8}{9} \\ y\left(\frac{4}{3}\right) &= -\left(\frac{4}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{4}{3}\right)^2 = -\frac{64}{27} + \frac{32}{9} = \frac{32}{27} \end{aligned} $$

よって、$y$ 座標が最大の点は $\left(\frac{8}{9}, \frac{32}{27}\right)$ である。

面積 $S$ について、曲線は $t=0$ から $t=1$ で原点から $(1,1)$ へ下側の経路を進み、$t=1$ から $t=2$ で $(1,1)$ から原点へ上側の経路を進む。積分公式を用いて面積を計算する。

$$ \begin{aligned} S &= -\int_{0}^{2} y(t)x'(t) \, dt \\ &= -\int_{0}^{2} (-t^3 + 2t^2)(-2t + 2) \, dt \\ &= \int_{0}^{2} 2t^2(t - 2)(t - 1) \, dt \\ &= \int_{0}^{2} (2t^4 - 6t^3 + 4t^2) \, dt \\ &= \left[ \frac{2}{5}t^5 - \frac{3}{2}t^4 + \frac{4}{3}t^3 \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{64}{5} - 24 + \frac{32}{3} \\ &= \frac{192 - 360 + 160}{15} \\ &= \frac{8}{15} \end{aligned} $$

解説

2つの異なる方針を示したが、いずれも入試数学において重要な手法である。解法1は素直に方程式を $y$ について解くものであり、無理関数の微分や積分といった数学IIIの標準的な計算力が問われる。置換積分を含めて処理としては非常に王道である。一方で解法2の「$y = tx$ と置く」という手法は、次数が揃っている同次式に近い形の方程式（今回の場合は2次の項と3次の項のみで構成されている）に対して極めて有効な変形である。この変形によって無理式を回避し、多項式の微分積分のみで完答できるため、計算ミスを減らす強力な武器となる。