名古屋大学 2020年 理系 第1問 解説

方針・初手

• (1) は、直線の方程式を用いて双曲線の方程式から $y$ を消去し、$x$ についての2次方程式を作ります。直線が $C_1$ ($x>0$ の部分) および $C_2$ ($x<0$ の部分) と1点ずつ交わることは、この2次方程式が正の解と負の解を1つずつ持つことと同値になります。
• (2) は、2交点 $P, Q$ の $x$ 座標を文字でおき、点と直線の距離の公式を用いて $\triangle APQ$ の高さを、解と係数の関係を用いて底辺の長さ $PQ$ を表します。ベクトルの面積公式を用いて計算を工夫することも有効です。
• (3) は、****(2)** で求めた式を観察し、$b^2 - a^2$ を一つの変数 $t$ とおきます。$S$ を $t$ の関数として捉え、微分法を用いて最小値を求めます。

解法1

(1) 直線 $ax - by = 1 \cdots$ ① と双曲線 $x^2 - y^2 = 1 \cdots$ ② の交点について考える。

もし $b = 0$ のとき、①は $ax = 1$ となり、$x$ の値が一定となるため、直線は $y$ 軸に平行となる。このとき②との交点は $C_1, C_2$ のどちらか一方にしか存在し得ないか、または存在しないため不適である。

よって $b \neq 0$ である。①を変形して、

$$ y = \frac{ax - 1}{b} $$

これを②に代入して整理する。

$$ x^2 - \left( \frac{ax - 1}{b} \right)^2 = 1 $$

$$ b^2 x^2 - (a^2 x^2 - 2ax + 1) = b^2 $$

$$ (b^2 - a^2)x^2 + 2ax - (b^2 + 1) = 0 \cdots \text{③} $$

直線が $C_1$ ($x>0$) と $C_2$ ($x<0$) の両方と1点ずつで交わるための条件は、方程式③が正の解を1つ、負の解を1つ持つことである。

まず、③が2次方程式であるためには $b^2 - a^2 \neq 0$ が必要である。($b^2 - a^2 = 0$ のときは1次以下の方程式となり、解を2つ持たないため不適である。)

このとき、③が正の解と負の解を持つための条件は、解と係数の関係より、2つの解の積が負となることである。

$$ \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 - a^2} < 0 $$

ここで、常に $b^2 + 1 > 0$ であるから、分子は $-(b^2 + 1) < 0$ となる。 したがって、分母は正でなければならない。

$$ b^2 - a^2 > 0 $$

すなわち、$a^2 < b^2$ である。 (このとき判別式は正となり、異なる2つの実数解を持つことが保証される。)

よって求める条件は、$a^2 < b^2$

(2) **(1)**の条件 $a^2 < b^2$ のもとで、③の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) とする。 点 $P, Q$ は $C_1, C_2$ 上の点であるから、それぞれの $x$ 座標が $\alpha, \beta$ となる。 解と係数の関係より、

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= \frac{-2a}{b^2 - a^2} \\ \alpha \beta &= \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 - a^2} \end{aligned} $$

ここから、$(\alpha - \beta)^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} (\alpha - \beta)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta \\ &= \left( \frac{-2a}{b^2 - a^2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{-(b^2 + 1)}{b^2 - a^2} \\ &= \frac{4a^2 + 4(b^2 + 1)(b^2 - a^2)}{(b^2 - a^2)^2} \\ &= \frac{4(a^2 + b^4 - a^2 b^2 + b^2 - a^2)}{(b^2 - a^2)^2} \\ &= \frac{4b^2(b^2 - a^2 + 1)}{(b^2 - a^2)^2} \end{aligned} $$

$\alpha > \beta$ であり、$b^2 - a^2 > 0$ であることに注意すると、

$$ \alpha - \beta = \frac{2|b|\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} $$

直線①の傾きは $\frac{a}{b}$ であるから、線分 $PQ$ の長さは、

$$ PQ = \sqrt{1 + \left(\frac{a}{b}\right)^2}(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{|b|} \cdot \frac{2|b|\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} = \frac{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} $$

次に、点 $A(a, b)$ と直線 $ax - by - 1 = 0$ の距離 $d$ を求める。

$$ d = \frac{|a \cdot a - b \cdot b - 1|}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}} = \frac{|a^2 - b^2 - 1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

ここで、$a^2 < b^2$ より $a^2 - b^2 - 1 < -1 < 0$ であるから、絶対値を外すと、

$$ d = \frac{b^2 - a^2 + 1}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

したがって、$\triangle APQ$ の面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} PQ \cdot d \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} \cdot \frac{b^2 - a^2 + 1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ &= \frac{(b^2 - a^2 + 1)\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} \end{aligned} $$

(3) **(2)の結果から、$t = b^2 - a^2$ とおくと、(1)**の条件より $t > 0$ であり、$S$ は次のように表される。

$$ S(t) = \frac{(t + 1)\sqrt{t + 1}}{t} = \frac{(t + 1)^{\frac{3}{2}}}{t} $$

$t > 0$ における $S(t)$ の増減を調べる。

$$ \begin{aligned} S'(t) &= \frac{\frac{3}{2}(t + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot t - (t + 1)^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{t^2} \\ &= \frac{\sqrt{t + 1} \left\{ \frac{3}{2}t - (t + 1) \right\}}{t^2} \\ &= \frac{\sqrt{t + 1} \left( \frac{1}{2}t - 1 \right)}{t^2} \end{aligned} $$

$S'(t) = 0$ となるのは $\frac{1}{2}t - 1 = 0$、すなわち $t = 2$ のときである。 増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

$t = 2$ のとき、最小値は、

$$ S(2) = \frac{(2 + 1)\sqrt{2 + 1}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

このとき、$t = b^2 - a^2 = 2$ であり、これは $t > 0$ ($a^2 < b^2$) を満たす。 よって、面積 $S$ の最小値は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ であり、そのときの条件は $b^2 - a^2 = 2$ である。

解法2

(2) について、ベクトルの面積公式を用いる方法を示す。 $P, Q$ の座標をそれぞれ $\left( \alpha, \frac{a\alpha - 1}{b} \right), \left( \beta, \frac{a\beta - 1}{b} \right)$ とする。 点 $A(a, b)$ を始点とするベクトル $\vec{AP}, \vec{AQ}$ は、

$$ \begin{aligned} \vec{AP} &= \left( \alpha - a, \frac{a\alpha - 1}{b} - b \right) = \left( \alpha - a, \frac{a\alpha - b^2 - 1}{b} \right) \\ \vec{AQ} &= \left( \beta - a, \frac{a\beta - 1}{b} - b \right) = \left( \beta - a, \frac{a\beta - b^2 - 1}{b} \right) \end{aligned} $$

$\triangle APQ$ の面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left| (\alpha - a)\frac{a\beta - b^2 - 1}{b} - (\beta - a)\frac{a\alpha - b^2 - 1}{b} \right| \\ &= \frac{1}{2|b|} \left| \left\{ a\alpha\beta - (b^2+1)\alpha - a^2\beta + a(b^2+1) \right\} - \left\{ a\alpha\beta - (b^2+1)\beta - a^2\alpha + a(b^2+1) \right\} \right| \\ &= \frac{1}{2|b|} \left| -(b^2+1)\alpha - a^2\beta + (b^2+1)\beta + a^2\alpha \right| \\ &= \frac{1}{2|b|} \left| (a^2 - b^2 - 1)(\alpha - \beta) \right| \end{aligned} $$

ここで、$a^2 < b^2$ より $a^2 - b^2 - 1 < -1 < 0$ であり、$\alpha > \beta$ としていることから $\alpha - \beta > 0$ であるため、絶対値を外すと、

$$ S = \frac{b^2 - a^2 + 1}{2|b|} (\alpha - \beta) $$

解法1で求めた $\alpha - \beta = \frac{2|b|\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2}$ を代入して、

$$ S = \frac{b^2 - a^2 + 1}{2|b|} \cdot \frac{2|b|\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} = \frac{(b^2 - a^2 + 1)\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2} $$

解説

• (1) では、2次方程式が「正の解と負の解を1つずつ持つ」条件を考える際、判別式 $D>0$ の確認を省略できることがポイントである。2つの解の積が負（すなわち、定数項と2次の係数が異符号）であれば、必ず異なる2つの実数解を持つからである。また、$x^2$ の係数が $0$ になる場合の除外を忘れないようにしたい。
• (2) の面積計算では、点と直線の距離と解と係数の関係を組み合わせるのが王道だが、ベクトルの成分を用いた面積公式（解法2）を用いると、計算が格段にスリムになる。
• (3) では、(2) で得られた式が $b^2 - a^2$ の塊で構成されていることに気づき、これを1つの変数と置き換えて微分することで、計算量を大きく減らすことができる。

答え

(1) $a^2 < b^2$ (2) $S = \frac{(b^2 - a^2 + 1)\sqrt{b^2 - a^2 + 1}}{b^2 - a^2}$ (3) 最小値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、そのときの条件 $b^2 - a^2 = 2$