名古屋大学 2009年 理系 第2問 解説

方針・初手

微積分学の基本定理 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$ を用いて $f(x)$ の導関数を求め、合成関数の微分法により $g'(\theta)$ を計算します。その際、$f'(x)$ は根号を含むため、$\sqrt{x^2} = |x|$ となることに注意し、三角関数の符号に基づいて $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ を $4$ つの区間に場合分けして絶対値を外します。 さらに、求めた $g'(\theta)$ を各区間で積分することで $g(\theta)$ を求めます。積分定数は $g(\theta)$ が連続関数であることと、$f(x)$ の図形的な意味から求められる $g(0)$ の値を用いて決定します。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = \int_{-1}^{x} \sqrt{1-t^2} dt \ (-1 \leqq x \leqq 1)$ を $x$ について微分すると、微積分学の基本定理より、

$$ f'(x) = \sqrt{1-x^2} $$

となります。次に、$g(\theta) = f(\cos\theta) - f(\sin\theta)$ の両辺を $\theta$ について微分します。合成関数の微分法より、

$$ g'(\theta) = f'(\cos\theta) \cdot (-\sin\theta) - f'(\sin\theta) \cdot \cos\theta $$

ここで、$f'(x)$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} f'(\cos\theta) &= \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta} = |\sin\theta| \\ f'(\sin\theta) &= \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = |\cos\theta| \end{aligned} $$

となるため、$g'(\theta)$ は以下のように表されます。

$$ g'(\theta) = -|\sin\theta|\sin\theta - |\cos\theta|\cos\theta $$

$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ を $4$ つの区間に分けて絶対値を外します。

(i) $0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin\theta \geqq 0, \cos\theta > 0$ であるから、

$$ g'(\theta) = -\sin^2\theta - \cos^2\theta = -1 $$

(ii) $\frac{\pi}{2} \leqq \theta < \pi$ のとき $\sin\theta \geqq 0, \cos\theta \leqq 0$ であるから、

$$ g'(\theta) = -\sin^2\theta - (-\cos\theta)\cos\theta = -\sin^2\theta + \cos^2\theta = \cos2\theta $$

(iii) $\pi \leqq \theta < \frac{3\pi}{2}$ のとき $\sin\theta \leqq 0, \cos\theta < 0$ であるから、

$$ g'(\theta) = -(-\sin\theta)\sin\theta - (-\cos\theta)\cos\theta = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

(iv) $\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi$ のとき $\sin\theta \leqq 0, \cos\theta \geqq 0$ であるから、

$$ g'(\theta) = -(-\sin\theta)\sin\theta - \cos^2\theta = \sin^2\theta - \cos^2\theta = -\cos2\theta $$

以上より、導関数 $g'(\theta)$ は以下のようになります。境界の点においても左右の極限が一致するため、$g'(\theta)$ は $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ で連続です。

$$ g'(\theta) = \begin{cases} -1 & \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \\ \cos2\theta & \left(\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\right) \\ 1 & \left(\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}\right) \\ -\cos2\theta & \left(\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi\right) \end{cases} $$

(2)

(1) で求めた導関数を区間ごとに積分します。$C_1, C_2, C_3, C_4$ を積分定数とすると、

$$ g(\theta) = \begin{cases} -\theta + C_1 & \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \\ \frac{1}{2}\sin2\theta + C_2 & \left(\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\right) \\ \theta + C_3 & \left(\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}\right) \\ -\frac{1}{2}\sin2\theta + C_4 & \left(\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi\right) \end{cases} $$

ここで、$y = \sqrt{1-t^2}$ のグラフは単位円の上半分を表すため、定積分 $\int_{-1}^{x} \sqrt{1-t^2} dt$ は半径 $1$ の半円の面積の一部を表します。したがって、

$$ \begin{aligned} f(1) &= \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} dt = \frac{\pi}{2} \\ f(0) &= \int_{-1}^{0} \sqrt{1-t^2} dt = \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

これより、$g(0)$ の値は次のように求まります。

$$ g(0) = f(1) - f(0) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $$

関数 $g(\theta)$ は微分可能であるため、全区間で連続です。これを利用して積分定数を順に決定します。

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$g(0) = C_1 = \frac{\pi}{4}$ より $C_1 = \frac{\pi}{4}$。 よって、$g(\theta) = -\theta + \frac{\pi}{4}$ であり、$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$。

$\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ において、$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = C_2 = -\frac{\pi}{4}$ より $C_2 = -\frac{\pi}{4}$。 よって、$g(\theta) = \frac{1}{2}\sin2\theta - \frac{\pi}{4}$ であり、$g(\pi) = -\frac{\pi}{4}$。

$\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}$ において、$g(\pi) = \pi + C_3 = -\frac{\pi}{4}$ より $C_3 = -\frac{5\pi}{4}$。 よって、$g(\theta) = \theta - \frac{5\pi}{4}$ であり、$g\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$。

$\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi$ において、$g\left(\frac{3\pi}{2}\right) = C_4 = \frac{\pi}{4}$ より $C_4 = \frac{\pi}{4}$。 よって、$g(\theta) = -\frac{1}{2}\sin2\theta + \frac{\pi}{4}$。

以上をまとめて、$g(\theta)$ は以下のようになります。

$$ g(\theta) = \begin{cases} -\theta + \frac{\pi}{4} & \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \\ \frac{1}{2}\sin2\theta - \frac{\pi}{4} & \left(\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\right) \\ \theta - \frac{5\pi}{4} & \left(\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}\right) \\ -\frac{1}{2}\sin2\theta + \frac{\pi}{4} & \left(\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi\right) \end{cases} $$

(3)

(1), (2) の結果をもとに $g(\theta)$ の増減表を作成します。 $g'(\theta) = 0$ となるのは、 $\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ のとき $\cos2\theta = 0$ より $\theta = \frac{3\pi}{4}$。 $\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi$ のとき $-\cos2\theta = 0$ より $\theta = \frac{7\pi}{4}$。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline \theta & 0 & \cdots & \frac{\pi}{2} & \cdots & \frac{3\pi}{4} & \cdots & \pi & \cdots & \frac{3\pi}{2} & \cdots & \frac{7\pi}{4} & \cdots & 2\pi \\ \hline g'(\theta) & -1 & - & -1 & - & 0 & + & 1 & + & 1 & + & 0 & - & -1 \\ \hline g(\theta) & \frac{\pi}{4} & \searrow & -\frac{\pi}{4} & \searrow & -\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} & \nearrow & -\frac{\pi}{4} & \nearrow & \frac{\pi}{4} & \nearrow & \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} & \searrow & \frac{\pi}{4} \\ \hline \end{array} $$

極小値は $g\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$、極大値は $g\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$ となります。

グラフを描く際のポイントは以下の通りです。

• $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の区間では、点 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ と点 $\left(\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}\right)$ を結ぶ線分になります。
• $\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ の区間では、下に凸から上に凸に変わる正弦波の一部となり、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ で極小値をとります。
• $\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}$ の区間では、点 $\left(\pi, -\frac{\pi}{4}\right)$ と点 $\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ を結ぶ線分になります。
• $\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi$ の区間では、上に凸から下に凸に変わる正弦波の一部となり、$\theta = \frac{7\pi}{4}$ で極大値をとります。
• 各区間の境界点ではグラフが滑らかに繋がります（微分可能）。

これらを踏まえて $xy$ 平面上に曲線を描画します。

解説

定積分で定義された関数の微分と、合成関数の微分法を組み合わせた標準的な問題です。$\sqrt{A^2} = |A|$ の処理を忘れずに、絶対値記号を外すための場合分けを正確に行えるかがポイントです。また、$g(0)$ などの特定の一点の値を求める際に、$f(x)$ が単位円の面積の一部を表しているという幾何学的な意味を利用すると計算を大幅に省略できます。

答え

(1) $$ g'(\theta) = \begin{cases} -1 & \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \\ \cos2\theta & \left(\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\right) \\ 1 & \left(\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}\right) \\ -\cos2\theta & \left(\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi\right) \end{cases} $$

(2) $$ g(\theta) = \begin{cases} -\theta + \frac{\pi}{4} & \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \\ \frac{1}{2}\sin2\theta - \frac{\pi}{4} & \left(\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\right) \\ \theta - \frac{5\pi}{4} & \left(\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}\right) \\ -\frac{1}{2}\sin2\theta + \frac{\pi}{4} & \left(\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi\right) \end{cases} $$

(3) $g(\theta)$ は $0 \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$ で減少， $\frac{3\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{7\pi}{4}$ で増加， $\frac{7\pi}{4} \leqq \theta \leqq 2\pi$ で減少する。

極小値は $$ g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} $$ 極大値は $$ g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} $$

また， $$ g(0)=g(2\pi)=\frac{\pi}{4},\quad g\left(\frac{\pi}{2}\right)=g(\pi)=-\frac{\pi}{4},\quad g\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4} $$ であり， $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ と $\pi \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{2}$ では直線部分， $\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ と $\frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq 2\pi$ では正弦曲線の一部となる。