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名古屋大学 1988年理系第2問解説

方針・初手

放物線の方程式を $y = -x^2 + px + q$ とおき、問題文で与えられた3つの条件（点 $(1, a)$ を通る、$y$ 軸と正または $0$ で交わる、$x$ 軸の正の部分との交点が $t$）を、それぞれ $p, q, a, t$ を用いた数式として表す。 (1) これらの関係式から不要な文字 $p, q$ を消去し、$q \geqq 0$ の条件を $t$ と $a$ の不等式に帰着させる。 (2) 面積 $S$ を $t$ までの定積分として計算し、$p, q$ を $t, a$ で表した式を代入して整理する。 (3) (2) で得られた $S$ を $t$ の関数とみなし、微分を用いて最小値を求める。その際、(1) で求めた定義域と、極値をとる $t$ の位置関係によって場合分けを行う。

解法1

(1) 放物線 $y = -x^2 + px + q$ が点 $(1, a)$ を通るので、 $$-1 + p + q = a \iff p + q = a + 1 \dots \text{①}$$

$y$ 軸と正または $0$ で交わるので、$y$ 切片について、 $$q \geqq 0 \dots \text{②}$$

$x$ 軸の正の部分との交点が $(t, 0)$ であり、$t > 0$ であるから、 $$-t^2 + pt + q = 0 \dots \text{③}$$

①より $p = a + 1 - q$ とし、これを③に代入する。 $$-t^2 + (a + 1 - q)t + q = 0$$ $$q(1 - t) = t^2 - (a + 1)t$$

ここで、$t = 1$ と仮定すると、$0 = 1 - (a + 1) = -a$ となるが、条件より $a > 0$ であるため矛盾する。よって $t \neq 1$ である。したがって、両辺を $1 - t$ で割ることができ、 $$q = \frac{t^2 - (a + 1)t}{1 - t} = \frac{t \{ t - (a + 1) \}}{1 - t}$$

条件② ($q \geqq 0$) より、 $$\frac{t \{ t - (a + 1) \}}{1 - t} \geqq 0$$

$t > 0$ であるから、両辺を $t$ で割って、 $$\frac{t - (a + 1)}{1 - t} \geqq 0$$

分母と分子にそれぞれ $-1$ を掛けて符号を整理すると、 $$\frac{t - (a + 1)}{t - 1} \leqq 0$$

$a > 0$ より $1 < a + 1$ であるから、この不等式の解は以下のようになる。 $$1 < t \leqq a + 1$$

(2) 面積 $S$ は、放物線と $x$ 軸、 $y$ 軸で囲まれた部分のうち $x \geqq 0$ の部分の面積である。放物線は上に凸であり、$x$ 切片が正の数 $t$、$y$ 切片が $q \geqq 0$ であるため、積分区間 $0 \leqq x \leqq t$ において $y \geqq 0$ となる。したがって、面積 $S$ は次のように定積分で表される。 $$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{t} (-x^2 + px + q) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}px^2 + qx \right]_{0}^{t} \\ &= -\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}pt^2 + qt \end{aligned} $$

ここで、①および③を用いて $p, q$ を $t, a$ で表す。 ③より $q = t^2 - pt$ であり、①に代入して、 $$p + t^2 - pt = a + 1 \iff p(1 - t) = a + 1 - t^2$$ $t \neq 1$ より、 $$p = \frac{a + 1 - t^2}{1 - t}$$

また、$q$ は次のように表せる。 $$ \begin{aligned} q &= t^2 - pt \\ &= t^2 - \frac{a + 1 - t^2}{1 - t}t \\ &= \frac{t^2(1 - t) - t(a + 1 - t^2)}{1 - t} \\ &= \frac{t^2 - (a + 1)t}{1 - t} \end{aligned} $$

これらを $S$ の式に代入する。 $$ \begin{aligned} S &= -\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}\left( \frac{a + 1 - t^2}{1 - t} \right)t^2 + \left( \frac{t^2 - (a + 1)t}{1 - t} \right)t \\ &= \frac{-2t^3(1 - t) + 3t^2(a + 1 - t^2) + 6t^2 \{ t - (a + 1) \}}{6(1 - t)} \\ &= \frac{-2t^3 + 2t^4 + 3(a + 1)t^2 - 3t^4 + 6t^3 - 6(a + 1)t^2}{6(1 - t)} \\ &= \frac{-t^4 + 4t^3 - 3(a + 1)t^2}{6(1 - t)} \\ &= \frac{t^4 - 4t^3 + 3(a + 1)t^2}{6(t - 1)} \end{aligned} $$

(3) (2) で求めた $S$ を $t$ の関数 $S(t)$ とする。 $$S(t) = \frac{t^4 - 4t^3 + 3(a + 1)t^2}{6(t - 1)}$$

商の微分法を用いて $S(t)$ を微分する。 $$ \begin{aligned} S'(t) &= \frac{1}{6} \frac{(4t^3 - 12t^2 + 6(a + 1)t)(t - 1) - (t^4 - 4t^3 + 3(a + 1)t^2) \cdot 1}{(t - 1)^2} \\ &= \frac{1}{6(t - 1)^2} \{ 4t^4 - 4t^3 - 12t^3 + 12t^2 + 6(a + 1)t^2 - 6(a + 1)t - t^4 + 4t^3 - 3(a + 1)t^2 \} \\ &= \frac{1}{6(t - 1)^2} \{ 3t^4 - 12t^3 + 3(a + 5)t^2 - 6(a + 1)t \} \\ &= \frac{3t}{6(t - 1)^2} \{ t^3 - 4t^2 + (a + 5)t - 2(a + 1) \} \end{aligned} $$

ここで、括弧内の式を $g(t) = t^3 - 4t^2 + (a + 5)t - 2(a + 1)$ とおくと、 $$g(2) = 8 - 16 + 2(a + 5) - 2(a + 1) = 0$$ となるため、因数定理より $g(t)$ は $t - 2$ を因数にもつ。因数分解すると、 $$g(t) = (t - 2)(t^2 - 2t + a + 1) = (t - 2) \{ (t - 1)^2 + a \}$$

$a > 0$ であるから、つねに $(t - 1)^2 + a > 0$ である。したがって、$t > 0$ において $S'(t) = 0$ となるのは $t = 2$ のみである。 (1) で求めた定義域 $1 < t \leqq a + 1$ と、極値をとる $t = 2$ の大小関係により場合分けを行う。

(i) $a + 1 \geqq 2$ すなわち $a \geqq 1$ のとき定義域内に $t = 2$ が含まれる。増減表は以下のようになる。

$t$	$(1)$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$a+1$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$t = 2$ のとき $S$ は最小となる。このとき、 $$p = \frac{a + 1 - 2^2}{1 - 2} = 3 - a$$ $$q = \frac{2^2 - 2(a + 1)}{1 - 2} = 2a - 2$$ よって、求める放物線の方程式は $y = -x^2 + (3 - a)x + 2a - 2$ である。

(ii) $a + 1 < 2$ すなわち $0 < a < 1$ のとき定義域 $1 < t \leqq a + 1$ のすべての範囲において $t < 2$ となるため、つねに $S'(t) < 0$ である。したがって、$S(t)$ はこの区間で単調に減少するため、$t = a + 1$ のとき $S$ は最小となる。このとき、 $$p = \frac{a + 1 - (a + 1)^2}{1 - (a + 1)} = \frac{-(a + 1)a}{-a} = a + 1$$ $$q = \frac{(a + 1)^2 - (a + 1)^2}{1 - (a + 1)} = 0$$ よって、求める放物線の方程式は $y = -x^2 + (a + 1)x$ である。

解説

条件を数式化して文字を消去し、微積分を用いて関数の最小値を求める標準的な問題である。 (1) では、文字式で割る際に分母が $0$ にならないことの確認を忘れてはならない。本問では $t=1$ と仮定して矛盾を導くことで $t \neq 1$ を示している。 (2) では、被積分関数を展開してから定積分を計算し、その後に $p, q$ を代入することで計算ミスを防ぐことができる。 (3) は、導関数の分子が 3次式となるが、因数定理を用いて解を 1つ見つけるのが典型的な手法である。極値をとる $x$ の値が求まった後は、定義域と極値の相対的な位置関係による場合分けを丁寧に行う必要がある。