トップ› 名古屋大学› 1988年› 理系第1問

名古屋大学 1988年理系第1問解説

方針・初手

(1) は、条件式 $A^2 - 2AB + B^2 = O$ から目的の式を作り出すための恒等的な式変形を考えます。行列の積は一般に交換法則が成り立たないことに注意して計算を進める必要があります。

(2) は、行列 $A, B$ が対称行列であること（$A=A', B=B'$）を利用します。条件式の両辺の転置をとることで新しい関係式を導き、$A$ と $B$ が可換（$AB=BA$）であることを示すのが鍵となります。その後は実数成分の対称行列の性質を利用します。

(3) は、(2)の証明過程を振り返り、「対称行列である」という条件が欠けた場合に何が起こるかを考えます。$(A-B)^2 = O$ を満たすが $A-B \neq O$ となるような行列を構成することで反例を作ります。

解法1

(1)の証明

与えられた条件式より、$A^2 - 2AB + B^2 = O$ である。この式の左から $A$ を掛けたものから、右から $B$ を掛けたものを引く。

$$ A(A^2 - 2AB + B^2) - (A^2 - 2AB + B^2)B = A \cdot O - O \cdot B $$

左辺を展開すると、

$$ (A^3 - 2A^2B + AB^2) - (A^2B - 2AB^2 + B^3) = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 $$

右辺は $O - O = O$ であるから、

$$ A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 = O $$

が成り立つ。

(2)の証明

$A^2 - 2AB + B^2 = O$ の両辺の転置行列をとる。転置行列の性質 $(X+Y)' = X' + Y'$ および $(XY)' = Y'X'$ より、

$$ (A^2)' - 2(AB)' + (B^2)' = O' $$

$$ (A')^2 - 2B'A' + (B')^2 = O $$

ここで、条件 $A = A', B = B'$ を用いると、

$$ A^2 - 2BA + B^2 = O $$

となる。元の条件式 $A^2 - 2AB + B^2 = O$ から辺々引くと、

$$ -2AB + 2BA = O $$

$$ AB = BA $$

すなわち、$A$ と $B$ は可換であることがわかる。これを用いると、条件式は次のように因数分解できる。

$$ A^2 - AB - BA + B^2 = O $$

$$ (A - B)^2 = O $$

ここで、$X = A - B$ とおくと、$X^2 = O$ である。また、$A = A', B = B'$ より、

$$ X' = (A - B)' = A' - B' = A - B = X $$

となるから、$X$ も対称行列である。 $X$ の各成分は実数であるから、$X = \begin{pmatrix} x & y \\ y & z \end{pmatrix}$（$x, y, z$ は実数）とおける。

$$ X^2 = \begin{pmatrix} x & y \\ y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ y & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+y^2 & xy+yz \\ xy+yz & y^2+z^2 \end{pmatrix} $$

$X^2 = O$ より、対応する成分を比較して、

$$ x^2 + y^2 = 0 $$

$$ y^2 + z^2 = 0 $$

$x, y, z$ は実数であるから、$x^2 \geqq 0, y^2 \geqq 0, z^2 \geqq 0$ であり、上の2式より、

$$ x = 0, y = 0, z = 0 $$

すなわち、$X = O$ となる。したがって、$A - B = O$ より、$A = B$ が成り立つ。

(3)の解答

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とする。

このとき、$A' = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \neq A$ であるから、(2)の条件を満たさない。また、$A \neq B$ である。

一方、$A^2, AB, B^2$ を計算すると、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

$$ AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

$$ B^2 = O $$

となるから、

$$ A^2 - 2AB + B^2 = O - O + O = O $$

となり、与えられた等式を満たす。したがって、(2)の条件を満たさないときは、必ずしも $A = B$ が成り立たない。

解法2

(1)の別解

条件式 $A^2 - 2AB + B^2 = O$ より、

$$ A^2 - AB = AB - B^2 $$

$$ A(A - B) = (A - B)B $$

この式の両辺の左から $A$ を掛けると、

$$ A^2(A - B) = A(A - B)B $$

右辺の $A(A - B)$ に再び $(A - B)B$ を代入すると、

$$ A^2(A - B) = (A - B)BB $$

$$ A^3 - A^2B = AB^2 - B^3 $$

移項すると、

$$ A^3 - A^2B - AB^2 + B^3 = O $$

ここで、証明すべき式の左辺は次のように変形できる。

$$ A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 = (A^3 - A^2B - AB^2 + B^3) - 2A^2B + 4AB^2 - 2B^3 $$

先ほど示した $A^3 - A^2B - AB^2 + B^3 = O$ を用いると、

$$ (左辺) = O - 2(A^2B - 2AB^2 + B^3) $$

さらに、元の条件式に右から $B$ を掛けると $(A^2 - 2AB + B^2)B = O$ より $A^2B - 2AB^2 + B^3 = O$ であるから、

$$ (左辺) = -2 \cdot O = O $$

となり、証明された。

解説

行列の積は一般に交換法則（$AB = BA$）が成り立たないため、$(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$ は必ずしも $A^2 - 2AB + B^2$ と一致しません。しかし、(2)のように行列が対称行列（転置行列と元の行列が等しい）であるという条件が加わることで、$AB=BA$ を導くことができます。

$X^2 = O$ から $X = O$ を導く際、成分が実数である対称行列の性質（平方の和が $0$ ならば各項が $0$）をうまく利用するのがポイントです。(3)の反例構築では、この「対称行列」という制約を外し、$X^2 = O$ となるような非零行列 $X$（べき零行列）を作ることで簡単に例を見つけることができます。