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名古屋大学 2005年理系第5問解説

方針・初手

(1) は積分区間 $[0, \pi]$ に対する定積分の性質を示す問題である。定積分における変数変換（置換積分）を利用する。積分区間の端点や対称性に着目し、$x = \pi - t$ と置換するのが基本方針となる。

(2) は、被積分関数の一部を $f(x)$ とおくことで (1) の結果を利用できる形になっていることに着目する。その後は三角関数の積分における標準的な置換積分に帰着させる。

解法1

(1)

与えられた定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_0^\pi \left( x - \frac{\pi}{2} \right) f(x) dx $$

$x = \pi - t$ とおく。$dx = -dt$ であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。 $x : 0 \to \pi$ のとき $t : \pi \to 0$

したがって、

$$ I = \int_\pi^0 \left( \pi - t - \frac{\pi}{2} \right) f(\pi - t) (-dt) $$

$$ I = \int_0^\pi \left( \frac{\pi}{2} - t \right) f(\pi - t) dt $$

条件より、すべての実数 $t$ について $f(\pi - t) = f(t)$ であるから、

$$ I = \int_0^\pi \left( \frac{\pi}{2} - t \right) f(t) dt $$

積分変数を $x$ に書き直すと、

$$ I = \int_0^\pi \left( \frac{\pi}{2} - x \right) f(x) dx $$

$$ I = - \int_0^\pi \left( x - \frac{\pi}{2} \right) f(x) dx $$

$$ I = -I $$

これより $2I = 0$ となり、$I = 0$ が得られる。したがって、

$$ \int_0^\pi \left( x - \frac{\pi}{2} \right) f(x) dx = 0 $$

が成り立つ。（証明終）

(2)

$f(x) = \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x}$ とおく。 $\sin(\pi - x) = \sin x$、$\cos(\pi - x) = -\cos x$ であるから、

$$ f(\pi - x) = \frac{\sin^3(\pi - x)}{4 - \cos^2(\pi - x)} $$

$$ f(\pi - x) = \frac{(\sin x)^3}{4 - (-\cos x)^2} $$

$$ f(\pi - x) = \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} $$

$$ f(\pi - x) = f(x) $$

となり、$f(x)$ は (1) の条件を満たす連続関数である。 (1) の結果より、

$$ \int_0^\pi \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx = 0 $$

が成り立つから、これを展開して整理すると、

$$ \int_0^\pi x \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx $$

となる。ここで、右辺の定積分を求める。

$$ \int_0^\pi \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx = \int_0^\pi \frac{1 - \cos^2 x}{4 - \cos^2 x} \sin x dx $$

$u = \cos x$ とおく。$du = -\sin x dx$ であり、$x$ と $u$ の対応は以下のようになる。 $x : 0 \to \pi$ のとき $u : 1 \to -1$

よって、

$$ \int_0^\pi \frac{1 - \cos^2 x}{4 - \cos^2 x} \sin x dx = \int_1^{-1} \frac{1 - u^2}{4 - u^2} (-du) $$

$$ = \int_{-1}^1 \frac{1 - u^2}{4 - u^2} du $$

被積分関数は $u$ の偶関数であるから、

$$ \int_{-1}^1 \frac{1 - u^2}{4 - u^2} du = 2 \int_0^1 \frac{1 - u^2}{4 - u^2} du $$

ここで被積分関数を変形すると、

$$ \frac{1 - u^2}{4 - u^2} = \frac{u^2 - 1}{u^2 - 4} = \frac{(u^2 - 4) + 3}{u^2 - 4} = 1 + \frac{3}{u^2 - 4} $$

$$ = 1 + \frac{3}{(u - 2)(u + 2)} = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2} \right) $$

となる。したがって、求める定積分は、

$$ 2 \int_0^1 \left\{ 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2} \right) \right\} du $$

$$ = 2 \left[ u + \frac{3}{4} ( \log|u - 2| - \log|u + 2| ) \right]_0^1 $$

$$ = 2 \left[ u + \frac{3}{4} \log \left| \frac{u - 2}{u + 2} \right| \right]_0^1 $$

$$ = 2 \left\{ \left( 1 + \frac{3}{4} \log \frac{1}{3} \right) - \left( 0 + \frac{3}{4} \log 1 \right) \right\} $$

$$ = 2 \left( 1 - \frac{3}{4} \log 3 \right) $$

$$ = 2 - \frac{3}{2} \log 3 $$

以上より、目的の定積分の値は、

$$ \frac{\pi}{2} \left( 2 - \frac{3}{2} \log 3 \right) = \pi - \frac{3}{4}\pi \log 3 $$

解法2

(1) の別解として、関数の対称性を平行移動により奇関数として捉える方法を示す。

$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおく。$dx = dt$ であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。 $x : 0 \to \pi$ のとき $t : -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$

与式の左辺は、

$$ \int_0^\pi \left( x - \frac{\pi}{2} \right) f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t f \left( t + \frac{\pi}{2} \right) dt $$

となる。ここで、関数 $g(t) = f \left( t + \frac{\pi}{2} \right)$ について考える。条件 $f(\pi - x) = f(x)$ に対して $x = \frac{\pi}{2} - t$ を代入すると、

$$ f \left( \pi - \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \right) = f \left( \frac{\pi}{2} - t \right) $$

$$ f \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = f \left( \frac{\pi}{2} - t \right) $$

すなわち $g(t) = g(-t)$ が成り立つから、$g(t)$ は偶関数である。被積分関数 $t g(t)$ は、（奇関数）×（偶関数）＝（奇関数）となるため、積分区間が $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ と原点対称であることから、

$$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t g(t) dt = 0 $$

したがって、

$$ \int_0^\pi \left( x - \frac{\pi}{2} \right) f(x) dx = 0 $$

が成り立つ。（証明終）

解説

(1) は積分区間の対称性を利用する定積分の有名性質の証明です。$x = \pi - t$ または $x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換することで、関数が持つ対称性を数式として明瞭に表現できます。

(2) は (1) の誘導にうまく乗れるかが鍵です。$x$ 以外の部分を $f(x)$ として設定し、それが $f(\pi - x) = f(x)$ を満たすことを確認するプロセスは入試で頻出です。その後の定積分は、三角関数の奇数乗を含む場合の定石通り、$\sin x dx = -d(\cos x)$ の形を作り、$u = \cos x$ の置換積分を実行します。有理関数の積分に帰着した後は、部分分数分解を用いて対数関数へと持ち込む標準的な計算です。