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東京工業大学 1993年理系第2問解説

方針・初手

(1) は $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ に帰着させる極限の基本問題である。分母・分子をそれぞれ $x$ で割ることで極限を計算する。

(2) は定積分で定義された数列 $I_n$ と見なし、漸化式を立てて求める方法と、被積分関数 $\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x}$ を三角関数の和の形に変形してから積分する方法がある。

解法1

(1)

求める極限を変形する。

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)x} \cdot (2n+1)x}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)x}}{\frac{\sin x}{x}} \cdot (2n+1) \end{aligned} $$

ここで、$x \to 0$ のとき $(2n+1)x \to 0$ であり、$\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を用いると、

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2n+1)x}{(2n+1)x} = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

となる。したがって、

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = \frac{1}{1} \cdot (2n+1) = 2n+1 $$

(2)

$$ I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx $$

とおく。$n$ は自然数であるが、$n=0$ のときを考えると、

$$ I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $$

$I_n$ と $I_{n-1}$ の差をとる。

$$ I_n - I_{n-1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x - \sin(2n-1)x}{\sin x} dx $$

和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$ \sin(2n+1)x - \sin(2n-1)x = 2 \cos(2nx) \sin x $$

となるから、

$$ \begin{aligned} I_n - I_{n-1} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos(2nx) \sin x}{\sin x} dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos(2nx) dx \\ &= \left[ \frac{\sin(2nx)}{n} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\sin(n\pi)}{n} - 0 \end{aligned} $$

$n$ は自然数であるから、$\sin(n\pi) = 0$ となり、

$$ I_n - I_{n-1} = 0 $$

すなわち、$I_n = I_{n-1}$ が成り立つ。

これにより、数列 $I_n$ は定数数列であることがわかり、すべての自然数 $n$ について、

$$ I_n = I_0 = \frac{\pi}{2} $$

が成り立つ。よって、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx = \frac{\pi}{2} $$

が示された。

解法2

(2)

積和の公式 $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ を用いて、次の式変形を考える。自然数 $k$ に対して、

$$ 2 \sin x \cos(2kx) = \sin(2k+1)x - \sin(2k-1)x $$

が成り立つ。この式の両辺について、$k=1, 2, \dots, n$ までの和をとると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} 2 \sin x \cos(2kx) &= \sum_{k=1}^{n} \{ \sin(2k+1)x - \sin(2k-1)x \} \\ &= (\sin 3x - \sin x) + (\sin 5x - \sin 3x) + \dots + (\sin(2n+1)x - \sin(2n-1)x) \\ &= \sin(2n+1)x - \sin x \end{aligned} $$

となる。右辺の項が互いに打ち消し合う性質を用いた。

これを整理すると、

$$ \sin(2n+1)x = \sin x + 2 \sin x \sum_{k=1}^{n} \cos(2kx) $$

積分区間 $(0, \frac{\pi}{2}]$ において $\sin x \neq 0$ であり、両辺を $\sin x$ で割ると、

$$ \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n} \cos(2kx) $$

となる。

この等式を用いて、与えられた定積分を計算する。区間の端点 $x=0$ は積分の値に影響しない。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + 2 \sum_{k=1}^{n} \cos(2kx) \right) dx \\ &= \left[ x + \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(2kx)}{k} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k\pi)}{k} \right) - 0 \end{aligned} $$

$k$ は自然数であるから、$\sin(k\pi) = 0$ である。したがって、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx = \frac{\pi}{2} $$

が示された。

解説

(1) は極限の基本問題である。$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の形を作り出すために、分子と分母をそれぞれ適切に変形する。

(2) は有名な定積分である。このタイプの積分は、そのまま実行することができないため、工夫が必要になる。解法1のように $I_n - I_{n-1}$ を計算して漸化式を作る方法は、和積公式を活用することで被積分関数が劇的に簡単になり、非常に有効な手段である。解法2のように被積分関数を三角関数の和に展開する方法は、項が次々と消えていく和の形（差分和）を作ることがポイントである。

どちらの解法も、三角関数の積和・和積の公式を正確に使いこなす計算力が求められる。