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名古屋大学 2007年理系第3問解説

方針・初手

与えられた定積分の式を計算することで、数列 $a_n$ に関する漸化式を導き出す。積分を実行すると $a_n$ を $n$ の式で具体的に表すことができる。その後、回転体の体積 $V_n$ を定積分を用いて立式し、先に求めた $a_n$ の式を代入する。最後に求める極限はルートの差を含む形となるため、分子の有理化を行って不定形を解消してから極限値をとる。

解法1

まず、数列 $\{a_n\}$ を定める漸化式にある定積分を計算する。

$$ \int_{a_n}^{a_{n+1}} \frac{dx}{\sqrt[3]{x}} = \int_{a_n}^{a_{n+1}} x^{-\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \right]_{a_n}^{a_{n+1}} $$

これが $1$ に等しいので、

$$ \frac{3}{2} \left( a_{n+1}^{\frac{2}{3}} - a_n^{\frac{2}{3}} \right) = 1 $$

$$ a_{n+1}^{\frac{2}{3}} - a_n^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} $$

これより、数列 $\{a_n^{\frac{2}{3}}\}$ は初項 $a_1^{\frac{2}{3}} = 1^{\frac{2}{3}} = 1$、公差 $\frac{2}{3}$ の等差数列である。したがって、その一般項は次のように求められる。

$$ a_n^{\frac{2}{3}} = 1 + (n - 1) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2n + 1}{3} $$

次に、回転体の体積 $V_n$ を計算する。曲線 $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ と $x$ 軸、および2直線 $x = a_n$, $x = a_{n+1}$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに1回転させた体積 $V_n$ は、

$$ V_n = \pi \int_{a_n}^{a_{n+1}} y^2 dx = \pi \int_{a_n}^{a_{n+1}} x^{-\frac{2}{3}} dx $$

この定積分を計算すると、

$$ V_n = \pi \left[ 3 x^{\frac{1}{3}} \right]_{a_n}^{a_{n+1}} = 3\pi \left( a_{n+1}^{\frac{1}{3}} - a_n^{\frac{1}{3}} \right) $$

ここで、先ほど求めた関係式 $a_n^{\frac{2}{3}} = \frac{2n + 1}{3}$ より $a_n > 0$ を考慮して $a_n^{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2n + 1}{3}}$ となるため、これを $V_n$ の式に代入する。

$$ V_n = 3\pi \left( \sqrt{\frac{2(n+1) + 1}{3}} - \sqrt{\frac{2n + 1}{3}} \right) = \sqrt{3}\pi \left( \sqrt{2n + 3} - \sqrt{2n + 1} \right) $$

最後に、求める極限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} V_n$ を計算する。

$$ \sqrt{n} V_n = \sqrt{3}\pi \sqrt{n} \left( \sqrt{2n + 3} - \sqrt{2n + 1} \right) $$

括弧の中身は $\infty - \infty$ の不定形となるため、分子の有理化を行う。

$$ \begin{aligned} \sqrt{n} V_n &= \sqrt{3}\pi \sqrt{n} \cdot \frac{(\sqrt{2n + 3} - \sqrt{2n + 1})(\sqrt{2n + 3} + \sqrt{2n + 1})}{\sqrt{2n + 3} + \sqrt{2n + 1}} \\ &= \sqrt{3}\pi \sqrt{n} \cdot \frac{(2n + 3) - (2n + 1)}{\sqrt{2n + 3} + \sqrt{2n + 1}} \\ &= \frac{2\sqrt{3}\pi \sqrt{n}}{\sqrt{2n + 3} + \sqrt{2n + 1}} \end{aligned} $$

分母と分子を $\sqrt{n}$ で割る。

$$ \sqrt{n} V_n = \frac{2\sqrt{3}\pi}{\sqrt{2 + \frac{3}{n}} + \sqrt{2 + \frac{1}{n}}} $$

$n \to \infty$ のとき $\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$ となるため、

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} V_n = \frac{2\sqrt{3}\pi}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\pi = \frac{\sqrt{6}}{2}\pi $$

解説

与えられた条件式の積分計算を実行することで、数列 $\{a_n\}$ を等差数列に帰着させることができるのがポイントである。累乗の形になるため一見複雑に見えるが、$a_n$ そのものを無理に求めるよりも、$a_n^{\frac{2}{3}}$ や $a_n^{\frac{1}{3}}$ の塊のまま扱うと計算の見通しが良くなる。

極限計算のパートでは、無理式の差 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ の形が現れるため、定石通りに分子の有理化を行って不定形を解消する。計算量がさほど多くなく、用いる手法も標準的であるため、確実に完答したい問題である。