トップ› 名古屋大学› 2009年› 理系第3問

名古屋大学 2009年理系第3問解説

方針・初手

行列 $$ A=\frac12\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix} $$ の累乗を調べると，$A^3$ が単位行列の定数倍になる。これにより $(a_n,b_n)$ は $n$ を $3$ で割った余りで場合分けして求められる。

$c_n$ については $$ c_{n+1}-c_n=\sqrt{a_nb_n} $$ であるから，どの $n$ で $\sqrt{a_nb_n}$ が 0 でなくなるかを見抜けば等比数列の和に帰着する。

解法1

(1)

まず $A^2$ を計算する。

$$ A^2=\frac14 \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix} = \frac14 \begin{pmatrix} -1&1\\ -1&0 \end{pmatrix} $$

さらに $A$ を掛けると，

$$ A^3 = \frac18 \begin{pmatrix} -1&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix} = \frac18 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =\frac18E $$

(2)

$(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0)$ である。

$n=1$ のとき $$ \begin{pmatrix} a_2\\ b_2 \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \frac12 \end{pmatrix} $$ また $$ c_2=c_1+\sqrt{a_1b_1}=0+\sqrt{1\cdot0}=0 $$ よって $$ P_2\left(0,\frac12,0\right) $$

$n=2$ のとき $$ \begin{pmatrix} a_3\\ b_3 \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} 0\\ \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac14\\ -\frac14 \end{pmatrix} $$ また $$ c_3=c_2+\sqrt{a_2b_2}=0+\sqrt{0\cdot\frac12}=0 $$ よって $$ P_3\left(-\frac14,-\frac14,0\right) $$

$n=3$ のとき $$ \begin{pmatrix} a_4\\ b_4 \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} -\frac14\\ -\frac14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac18\\ 0 \end{pmatrix} $$ また $$ c_4=c_3+\sqrt{a_3b_3} =0+\sqrt{\left(-\frac14\right)\left(-\frac14\right)} =\frac14 $$ よって $$ P_4\left(\frac18,0,\frac14\right) $$

(3)

$$ \begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix} =A^{n-1} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} $$ である。自然数 $m$ を用いて $n$ を $3$ で割った余りで場合分けする。

(i) $n=3m-2$ のとき

$$ n-1=3(m-1) $$ より， $$ \begin{pmatrix} a_{3m-2}\\ b_{3m-2} \end{pmatrix} = \left(A^3\right)^{m-1} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \left(\frac18\right)^{m-1} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac1{8^{m-1}}\\ 0 \end{pmatrix} $$

(ii) $n=3m-1$ のとき

$$ \begin{pmatrix} a_{3m-1}\\ b_{3m-1} \end{pmatrix} = \left(A^3\right)^{m-1}A \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \left(\frac18\right)^{m-1} \begin{pmatrix} 0\\ \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \frac1{2\cdot 8^{m-1}} \end{pmatrix} $$

(iii) $n=3m$ のとき

$$ \begin{pmatrix} a_{3m}\\ b_{3m} \end{pmatrix} = \left(A^3\right)^{m-1}A^2 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \left(\frac18\right)^{m-1} \begin{pmatrix} -\frac14\\ -\frac14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac1{4\cdot 8^{m-1}}\\ -\frac1{4\cdot 8^{m-1}} \end{pmatrix} $$

次に $c_n$ を求める。

上の結果から $$ a_{3m-2}b_{3m-2}=0,\qquad a_{3m-1}b_{3m-1}=0 $$ であり， $$ a_{3m}b_{3m} = \left(-\frac1{4\cdot 8^{m-1}}\right)^2 = \frac1{16\cdot 64^{m-1}} $$ である。したがって $$ \sqrt{a_{3m-2}b_{3m-2}}=0,\quad \sqrt{a_{3m-1}b_{3m-1}}=0,\quad \sqrt{a_{3m}b_{3m}}=\frac1{4\cdot 8^{m-1}} $$

よって $c_n$ は $n\equiv 0\pmod 3$ の項でしか増えない。

$$ c_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{a_kb_k} $$ であるから，$n=3m-2,3m-1,3m$ のいずれの場合も $$ c_n=\sum_{j=1}^{m-1}\frac1{4\cdot 8^{j-1}} $$ となる。これは等比数列の和であるから， $$ c_n= \frac14\cdot\frac{1-\left(\frac18\right)^{m-1}}{1-\frac18} = \frac27\left(1-\frac1{8^{m-1}}\right) $$

したがって，点 $P_n$ の座標は次の通りである。

$$ P_{3m-2} = \left( \frac1{8^{m-1}}, 0, \frac27\left(1-\frac1{8^{m-1}}\right) \right) $$

$$ P_{3m-1} = \left( 0, \frac1{2\cdot 8^{m-1}}, \frac27\left(1-\frac1{8^{m-1}}\right) \right) $$

$$ P_{3m} = \left( -\frac1{4\cdot 8^{m-1}}, -\frac1{4\cdot 8^{m-1}}, \frac27\left(1-\frac1{8^{m-1}}\right) \right) $$