東京大学 1980年 理系 第3問 解説

方針・初手

行列 $A$ の形に注目し、回転行列の定数倍として表すことで $A^n$ を一般項として求める。求めた $A^n$ の成分から $p_n$、$q_n$ を $\alpha$ と $n$ を用いて立式する。(1)では三角関数の値が $0$ になる条件を調べ、(2)では $A^4$ が単位行列の定数倍になることから数列 $a_n$ の周期性を見抜くことが鍵となる。

解法1

行列 $A$ は次のように変形できる。

$$ A = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} $$

ド・モアブルの定理（または回転行列の性質）より、正整数 $n$ について以下が成り立つ。

$$ A^n = (\sqrt{2})^n \begin{pmatrix} \cos \frac{n\pi}{4} & -\sin \frac{n\pi}{4} \\ \sin \frac{n\pi}{4} & \cos \frac{n\pi}{4} \end{pmatrix} $$

これより、与えられた式に代入して計算する。

$$ \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \end{pmatrix} = (\sqrt{2})^n \begin{pmatrix} \alpha \cos \frac{n\pi}{4} - \sin \frac{n\pi}{4} \\ \alpha \sin \frac{n\pi}{4} + \cos \frac{n\pi}{4} \end{pmatrix} $$

したがって、$p_n$、$q_n$ は次のように表される。

$$ p_n = (\sqrt{2})^n \left( \alpha \cos \frac{n\pi}{4} - \sin \frac{n\pi}{4} \right) $$

$$ q_n = (\sqrt{2})^n \left( \alpha \sin \frac{n\pi}{4} + \cos \frac{n\pi}{4} \right) $$

(1)

ある $n$ について $q_n = 0$ となる条件を考える。

$$ q_n = 0 \iff \alpha \sin \frac{n\pi}{4} + \cos \frac{n\pi}{4} = 0 $$

ここで、$\sin \frac{n\pi}{4} = 0$ となるのは $n$ が $4$ の倍数のときであるが、このとき $\cos \frac{n\pi}{4} = \pm 1 \neq 0$ となり、上式は $\pm 1 = 0$ となって等式を満たす実数 $\alpha$ は存在しない。 よって $\sin \frac{n\pi}{4} \neq 0$ と仮定してよく、方程式の両辺を $\sin \frac{n\pi}{4}$ で割ると次を得る。

$$ \alpha = -\frac{\cos \frac{n\pi}{4}}{\sin \frac{n\pi}{4}} = -\frac{1}{\tan \frac{n\pi}{4}} $$

$n$ に $1, 2, 3$ を代入して値を確認する。

$n = 1$ のとき、$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ より $\alpha = -1$

$n = 2$ のとき、$\cos \frac{2\pi}{4} = 0, \sin \frac{2\pi}{4} = 1$ より $\alpha = 0$

$n = 3$ のとき、$\tan \frac{3\pi}{4} = -1$ より $\alpha = 1$

一般に、$n$ は正整数であるから、$n$ を $4$ で割った余りによって $\tan \frac{n\pi}{4}$ またはその逆数の値は周期的に決まり、上の計算からとり得る値は $\pm 1$ と $0$ のみであることがわかる。 したがって、求める $\alpha$ の値はこれらすべてである。

(2)

すべての $n$ について $q_n \neq 0$ となるので、(1)の対偶より $\alpha \neq -1, 0, 1$ である。 このとき、$a_n$ は次のように計算できる。

$$ a_n = \frac{p_n}{q_n} = \frac{\alpha \cos \frac{n\pi}{4} - \sin \frac{n\pi}{4}}{\alpha \sin \frac{n\pi}{4} + \cos \frac{n\pi}{4}} $$

$n$ に $1, 2, 3, 4$ を代入して $a_n$ の最初の4項をそれぞれ $\alpha$ を用いて表す。

$n = 1$ のとき、

$$ a_1 = \frac{\alpha \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\alpha \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1} $$

$n = 2$ のとき、

$$ a_2 = \frac{\alpha \cdot 0 - 1}{\alpha \cdot 1 + 0} = -\frac{1}{\alpha} $$

$n = 3$ のとき、

$$ a_3 = \frac{\alpha \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\alpha \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{-\alpha - 1}{\alpha - 1} = \frac{\alpha + 1}{1 - \alpha} $$

$n = 4$ のとき、

$$ a_4 = \frac{\alpha \cdot (-1) - 0}{\alpha \cdot 0 + (-1)} = \alpha $$

また、$n \geqq 5$ における $a_n$ の振る舞いを調べるために、$a_{n+4}$ について考える。

$$ A^4 = (\sqrt{2})^4 \begin{pmatrix} \cos \pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -4I $$

これを用いると、

$$ \begin{pmatrix} p_{n+4} \\ q_{n+4} \end{pmatrix} = A^{n+4} \begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \end{pmatrix} = A^4 A^n \begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \end{pmatrix} = -4I \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4p_n \\ -4q_n \end{pmatrix} $$

よって、$a_{n+4} = \frac{-4p_n}{-4q_n} = \frac{p_n}{q_n} = a_n$ となり、数列 $a_n$ は周期 $4$ を持つことがわかる。 したがって、異なる値の個数は高々 $4$ 個である。

次に、$a_1, a_2, a_3, a_4$ の中に同じ値がないかを確認する。 任意の2項が等しいと仮定して方程式を解くと、例えば $a_4 = a_2$ のときは $\alpha = -\frac{1}{\alpha}$ より $\alpha^2 = -1$ となる。 これを満たす実数 $\alpha$ は存在しない。 同様に他の組についても等式を立てて整理すると、いずれも $\alpha^2 = -1$ に帰着し、実数解をもたないことが確認できる。

以上より、$\alpha$ がどのような実数であっても（$\alpha \neq -1, 0, 1$ のもとで）、$a_1, a_2, a_3, a_4$ はすべて互いに異なる。 数列全体は周期 $4$ でこれらを繰り返すため、異なるものの個数は常に $4$ 個である。

解説

行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形を見たら、複素数 $a + bi$ の積、あるいは回転行列の実数倍と結びつけて累乗を計算する定石問題である。(2)では、行列の積 $A^4$ が単位行列の定数倍になる（スカラー行列になる）ことに気づけば、数列の周期性を示すことができ、計算量を大幅に減らすことができる。重複の確認において、実数条件から $\alpha^2 = -1$ を満たさないことを用いて一気に調べる手法は効率的である。

答え

(1)

$\alpha = -1, 0, 1$

(2)

$n = 4k-3$ のとき、$a_n = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}$ $n = 4k-2$ のとき、$a_n = -\frac{1}{\alpha}$ $n = 4k-1$ のとき、$a_n = \frac{\alpha + 1}{1 - \alpha}$ $n = 4k$ のとき、$a_n = \alpha$ （$k$ は正の整数） 異なるものの個数は $4$ 個