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名古屋大学 2015年理系第1問解説

方針・初手

(1) は積の微分法または商の微分法を用いて導関数 $f'(x)$ を計算し、不等式を解きます。(2) は (1) の結果を利用して関数 $y=f(x)$ の増減を調べ、グラフと直線 $y=1$ の共有点の個数を視覚的に捉えます。その際、$2^x = x^2$ の自明な解として $x=2, 4$ が存在することに気づくことがポイントになります。(3) は (2) で見つけた負の解が有理数になり得ないことを背理法を用いて示します。

解法1

(1)

関数 $f(x) = x^{-2} 2^x$ を微分します。積の微分法を用いて、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= -2x^{-3} 2^x + x^{-2} 2^x \log 2 \\ &= x^{-3} 2^x (x \log 2 - 2) \\ &= \frac{2^x (x \log 2 - 2)}{x^3} \end{aligned} $$

$2^x > 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となる条件は

$$ \frac{x \log 2 - 2}{x^3} > 0 $$

となります。$x \neq 0$ において $x^3$ と $x$ は常に同符号であるため、この不等式は次と同値です。

$$ x(x \log 2 - 2) > 0 $$

この2次不等式を解いて、求める条件は

$$ x < 0, \quad x > \frac{2}{\log 2} $$

(2)

$x=0$ のとき $2^0 = 1$、$0^2 = 0$ となり等式は成立しないため、$x \neq 0$ として構いません。このとき、方程式 $2^x = x^2$ の両辺を $x^2$ で割ると、

$$ \frac{2^x}{x^2} = 1 \iff f(x) = 1 $$

となります。したがって、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = 1$ の共有点の個数を調べます。 (1) の結果から、$f(x)$ の増減表は以下のようになります。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\frac{2}{\log 2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$\times$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$\times$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、各極限を調べると以下のようになります。

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2^x}{x^2} = 0 $$

$$ \lim_{x \to -0} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to +0} f(x) = \infty $$

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $$

次に、$x>0$ における $f(x)=1$ の解を調べます。 $x=2$ のとき $f(2) = \frac{2^2}{2^2} = 1$ $x=4$ のとき $f(4) = \frac{2^4}{4^2} = 1$ であるから、$x=2, 4$ は解となります。極小値をとる $x = \frac{2}{\log 2}$ について、自然対数の底 $e$ は $2 < e < 4$ を満たすので、

$$ \log 2 < \log e = 1 \implies \frac{2}{\log 2} > 2 $$

$$ 2 = \log e^2 > \log 4 = 2 \log 2 \implies \frac{2}{\log 2} < 4 $$

すなわち、$2 < \frac{2}{\log 2} < 4$ が成り立ちます。これより、$f(x)$ は区間 $0 < x \le \frac{2}{\log 2}$ において単調減少し $f(2)=1$ を通り、区間 $x \ge \frac{2}{\log 2}$ において単調増加し $f(4)=1$ を通るため、極小値は $f\left(\frac{2}{\log 2}\right) < 1$ であることがわかります。したがって、$x>0$ の範囲において、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=1$ は $x=2, 4$ のちょうど2点で交わります。

また、$x < 0$ の範囲において $f(x)$ は単調増加であり、$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x \to -0} f(x) = \infty$ であるから、中間値の定理により $f(x)=1$ を満たす実数 $x$ がただ1つ存在します。以上より、$f(x)=1$ すなわち $2^x = x^2$ は相異なる3個の実数解をもつことが示されました。

(3)

(2) より、$2^x = x^2$ は正の解 $x=2, 4$ と、負の解を1つもちます。 $x=2, 4$ は有理数です。この負の解を $\alpha \ (<0)$ とおき、$\alpha$ が有理数であると仮定して矛盾を導きます。 $\alpha$ は互いに素な自然数 $p, q$ を用いて $\alpha = -\frac{p}{q}$ と表せます。これが方程式を満たすので、

$$ 2^{-p/q} = \left(-\frac{p}{q}\right)^2 $$

$$ \frac{1}{2^{p/q}} = \frac{p^2}{q^2} \implies 2^{p/q} = \frac{q^2}{p^2} $$

両辺を $q$ 乗すると、

$$ 2^p = \frac{q^{2q}}{p^{2q}} $$

$$ q^{2q} = p^{2q} 2^p $$

となります。右辺は整数であるから左辺 $q^{2q}$ も整数であり、等式から $p^{2q}$ は $q^{2q}$ の約数となります。しかし、$p, q$ は互いに素な自然数であるため、$p=1$ でなければなりません。 $p=1$ のとき、方程式は

$$ q^{2q} = 2^1 \implies q^{2q} = 2 $$

となります。 $q$ は自然数であるから、$q=1$ のとき $1^2 = 1 \neq 2$。 $q \ge 2$ のとき $q^{2q} \ge 2^4 = 16 \neq 2$。これを満たす自然数 $q$ は存在せず、矛盾します。したがって、負の解 $\alpha$ は無理数です。以上より、有理数である解は $x=2, 4$ のみです。

解説

指数関数と多項式が混在する方程式の解の個数を問う典型的な問題です。直接解くことができないため、両辺を割って $f(x)=k$ の形に持ち込み、微分してグラフの概形から視覚的に処理するのが定石です。本問では、極小値の具体的な値を評価する代わりに、「自明な解 $x=2, 4$ の存在」と「増減表」を組み合わせることで極小値が $1$ より小さいことを論証する手法が求められます。 (3) は「有理数解を持たない」ことの証明として、互いに素な自然数を用いた背理法を用いる、整数問題の要素を含んだ良問です。