大阪大学 2014年 理系 第2問 解説

方針・初手

与えられた条件式を変形し、$x$ の関数 $g(x)$ を設定してその最大値を求める問題に帰着させる。

条件（ア）は「すべての実数 $x$ において $f(t) \geqq g(x)$」、条件（イ）は「ある実数 $x$ において $f(t) = g(x)$」という形に読み替えることができる。これはすなわち、$f(t)$ が関数 $g(x)$ の最大値であることに他ならない。したがって、$t$ を定数とみなして $g(x)$ の増減を調べ、最大値を計算する。

解法1

関数 $g(x)$ を

$$ g(x) = 1 + x - t \cdot \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$

と定める。

条件(ア)より、すべての実数 $x$ に対して $f(t) \geqq g(x)$ が成り立つ。 また条件(イ)より、ある実数 $x$ に対して $f(t) = g(x)$ が成り立つ。 これら2つの条件から、$f(t)$ は $x$ の関数 $g(x)$ の最大値である。

$t > 0$ を定数として扱い、$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ g'(x) = 1 - \frac{t}{2}(e^x - e^{-x}) $$

となる。ここで、$g'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$$ 1 - \frac{t}{2}(e^x - e^{-x}) = 0 $$

$$ \frac{t}{2}(e^x - e^{-x}) = 1 $$

両辺に $\frac{2e^x}{t}$ を掛けて整理すると、

$$ (e^x)^2 - \frac{2}{t}e^x - 1 = 0 $$

を得る。

$e^x > 0$ であることに注意して、解の公式より $e^x$ を求めると、

$$ e^x = \frac{1}{t} + \sqrt{\frac{1}{t^2} + 1} = \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} $$

となる。これを満たす $x$ を $\alpha$ とおくと、

$$ \alpha = \log \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} $$

である。

ここで、$x < \alpha$ のときは $e^x < \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t}$ となり $g'(x) > 0$ であり、$x > \alpha$ のときは $e^x > \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t}$ となり $g'(x) < 0$ である。 したがって、$g(x)$ は $x = \alpha$ において極大かつ最大となる。

最大値 $g(\alpha)$ を求めるために、$e^{-\alpha}$ の値を計算しておく。

$$ e^{-\alpha} = \frac{t}{1 + \sqrt{1 + t^2}} = \frac{t(\sqrt{1 + t^2} - 1)}{(1 + \sqrt{1 + t^2})(\sqrt{1 + t^2} - 1)} = \frac{t(\sqrt{1 + t^2} - 1)}{(1 + t^2) - 1} = \frac{\sqrt{1 + t^2} - 1}{t} $$

これを用いると、最大値 $g(\alpha)$ は次のように計算できる。

$$ g(\alpha) = 1 + \alpha - \frac{t}{2}(e^\alpha + e^{-\alpha}) $$

$$ = 1 + \log \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} - \frac{t}{2} \left( \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} + \frac{\sqrt{1 + t^2} - 1}{t} \right) $$

$$ = 1 + \log \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} - \frac{t}{2} \cdot \frac{2\sqrt{1 + t^2}}{t} $$

$$ = 1 - \sqrt{1 + t^2} + \log \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} $$

これが関数 $g(x)$ の最大値であり、求める $f(t)$ となる。

解説

すべての $x$ について $A \geqq B(x)$ であり、かつ、ある $x$ について $A = B(x)$ が成立するならば、「$A$ は関数 $B(x)$ の最大値である」という論理構造を見抜けるかどうかがポイントである。文字が $t$ と $x$ の2種類登場するが、不等式や等式が「すべての $x$ 」「ある $x$ 」に対して言及されていることから、$x$ の関数として捉え、$t$ を一旦定数として扱う視点が必要になる。

また、$g'(x) = 0$ の方程式を解く際には、$e^x$ を一つの変数とみて二次方程式に帰着させるのが定石である。最大値を計算する際は、$\alpha$ をそのまま代入して処理するよりも、$e^\alpha$ と $e^{-\alpha}$ の値を利用して代数的に簡略化してから計算する方が計算ミスを防ぎやすい。

答え

$$ f(t) = 1 - \sqrt{1 + t^2} + \log \frac{1 + \sqrt{1 + t^2}}{t} $$