大阪大学 1980年 文系 第3問 解説

方針・初手

2つの曲線の交点の $x$ 座標を求め、積分区間と上下関係を把握する。交点の $x$ 座標には定数 $a$ が含まれるため、$a$ の値によって交点の大小関係（順序）が変化する。したがって、$a$ の値による場合分けを行って面積を計算する。

解法1

2曲線 $y = x^3 - a^2x$ と $y = -x^2 + a^2$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$ x^3 - a^2x = -x^2 + a^2 $$

移項して整理すると、

$$ x^3 + x^2 - a^2x - a^2 = 0 $$

$$ x^2(x + 1) - a^2(x + 1) = 0 $$

$$ (x + 1)(x^2 - a^2) = 0 $$

$$ (x + 1)(x + a)(x - a) = 0 $$

よって、交点の $x$ 座標は $x = -1, -a, a$ である。 ここで、2曲線の $y$ 座標の差を $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = (x^3 - a^2x) - (-x^2 + a^2) = (x + 1)(x + a)(x - a) $$

$a > 0$ であるから、$-a < a$ は常に成り立つ。残る交点 $x = -1$ と $\pm a$ の大小関係により、以下の2つの場合に分ける。

(i) $0 < a \le 1$ のとき

交点の $x$ 座標の大小関係は $-1 \le -a < a$ となる。 $y = f(x)$ のグラフは最高次（3次）の係数が正であるから、区間 $-1 \le x \le -a$ では $f(x) \ge 0$、区間 $-a \le x \le a$ では $f(x) \le 0$ となる。 したがって、求める面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \int_{-1}^{-a} f(x) \, dx - \int_{-a}^{a} f(x) \, dx $$

ここで、$f(x) = x^3 + x^2 - a^2x - a^2$ の原始関数の1つを $F(x)$ とおくと、

$$ F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}a^2x^2 - a^2x $$

であり、面積 $S$ は $F(x)$ を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \left[ F(x) \right]_{-1}^{-a} - \left[ F(x) \right]_{-a}^{a} \\ &= \left\{ F(-a) - F(-1) \right\} - \left\{ F(a) - F(-a) \right\} \\ &= 2F(-a) - F(-1) - F(a) \end{aligned} $$

各値を計算すると、

$$ \begin{aligned} F(a) &= \frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^4 - a^3 = -\frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 \\ F(-a) &= \frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^4 + a^3 = -\frac{1}{4}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \\ F(-1) &= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}a^2 + a^2 = \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{12} \end{aligned} $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} S &= 2 \left( -\frac{1}{4}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \right) - \left( \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{12} \right) - \left( -\frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 \right) \\ &= -\frac{1}{2}a^4 + \frac{4}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{12} + \frac{1}{4}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \\ &= -\frac{1}{4}a^4 + 2a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{12} \end{aligned} $$

(ii) $a > 1$ のとき

交点の $x$ 座標の大小関係は $-a < -1 < a$ となる。 $y = f(x)$ のグラフの概形から、区間 $-a \le x \le -1$ では $f(x) \ge 0$、区間 $-1 \le x \le a$ では $f(x) \le 0$ となる。 したがって、求める面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \int_{-a}^{-1} f(x) \, dx - \int_{-1}^{a} f(x) \, dx $$

(i) と同様に $F(x)$ を用いて計算すると、

$$ \begin{aligned} S &= \left[ F(x) \right]_{-a}^{-1} - \left[ F(x) \right]_{-1}^{a} \\ &= \left\{ F(-1) - F(-a) \right\} - \left\{ F(a) - F(-1) \right\} \\ &= 2F(-1) - F(-a) - F(a) \end{aligned} $$

各値を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} S &= 2 \left( \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{12} \right) - \left( -\frac{1}{4}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \right) - \left( -\frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 \right) \\ &= a^2 - \frac{1}{6} + \frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 + \frac{1}{4}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \\ &= \frac{1}{2}a^4 + a^2 - \frac{1}{6} \end{aligned} $$

以上より、求める面積 $S$ が得られる。

解説

3次関数と2次関数のグラフで囲まれた2つの部分の面積を足し合わせる問題である。交点の $x$ 座標の大小によって積分区間が変化するため、定数 $a$ で場合分けを行うことが最大のポイントである。

面積の計算においては、そのまま絶対値付きの積分を計算するよりも、引く順番を固定した関数 $f(x)$ とその原始関数 $F(x)$ を用意し、定積分を $F(x)$ の値の足し引きとして処理する工夫が有効である。交点が $\alpha < \beta < \gamma$ であるとき、$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx - \int_{\beta}^{\gamma} f(x) dx = 2F(\beta) - F(\alpha) - F(\gamma)$ となることを利用すると、代入時の符号ミスなどを大幅に減らすことができる。

答え

$$ \begin{cases} 0 < a \le 1 \text{ のとき} & -\frac{1}{4}a^4 + 2a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{12} \\ a > 1 \text{ のとき} & \frac{1}{2}a^4 + a^2 - \frac{1}{6} \end{cases} $$