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大阪大学 1990年文系第3問解説

方針・初手

関数 $f(x) = 0$ の解と積分区間の関係から、$-1 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の符号を調べる。(1)では、求める面積の和が $[-1, 1]$ における定積分となることに着目し、偶関数・奇関数の性質を利用して計算量を減らす。(2)では、直接 $S_1(a)$ と $S_2(a)$ の差を計算し、その結果を $a$ の関数として求めて符号を評価する。

解法1

(1)

$f(x) = (x^2 - 1)(x - a)^2$ とおく。 $-1 < a < 1$ のとき、$-1 < x < 1$ ($x \neq a$) において $x^2 - 1 < 0$ かつ $(x - a)^2 > 0$ であるから、$f(x) < 0$ となる。したがって、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる図形のうち、$x \leqq a$ の部分は $-1 \leqq x \leqq a$ の範囲にあり、面積 $S_1(a)$ は

$$ S_1(a) = \int_{-1}^a \{-f(x)\} dx $$

となる。同様に、$x \geqq a$ の部分は $a \leqq x \leqq 1$ の範囲にあり、面積 $S_2(a)$ は

$$ S_2(a) = \int_a^1 \{-f(x)\} dx $$

となる。よって、

$$ S_1(a) + S_2(a) = \int_{-1}^a \{-f(x)\} dx + \int_a^1 \{-f(x)\} dx = -\int_{-1}^1 f(x) dx $$

ここで、$f(x)$ を展開すると、

$$ f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 2ax + a^2) = x^4 - 2ax^3 + (a^2 - 1)x^2 + 2ax - a^2 $$

奇数次の項は $-1$ から $1$ までの定積分で $0$ となるため、偶関数の性質を利用すると、

$$ \int_{-1}^1 f(x) dx = 2 \int_0^1 \{x^4 + (a^2 - 1)x^2 - a^2\} dx $$

$$ = 2 \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a^2 - 1}{3}x^3 - a^2x \right]_0^1 $$

$$ = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{a^2 - 1}{3} - a^2 \right) = 2 \left( \frac{3 + 5a^2 - 5 - 15a^2}{15} \right) = -\frac{4}{15}(5a^2 + 1) $$

したがって、

$$ S_1(a) + S_2(a) = \frac{4}{15}(5a^2 + 1) $$

(2)

$f(x)$ の不定積分の1つを $F(x)$ とする。

$$ F(x) = \int \{ x^4 - 2ax^3 + (a^2 - 1)x^2 + 2ax - a^2 \} dx = \frac{1}{5}x^5 - \frac{a}{2}x^4 + \frac{a^2 - 1}{3}x^3 + ax^2 - a^2 x $$

$S_1(a)$ および $S_2(a)$ は $F(x)$ を用いて次のように表せる。

$$ S_1(a) = - \int_{-1}^a f(x) dx = - \{ F(a) - F(-1) \} $$

$$ S_2(a) = - \int_a^1 f(x) dx = - \{ F(1) - F(a) \} $$

大小関係を比較するため、$S_1(a) - S_2(a)$ を計算する。

$$ S_1(a) - S_2(a) = -F(a) + F(-1) + F(1) - F(a) = F(1) + F(-1) - 2F(a) $$

ここで、

$$ F(1) = \frac{1}{5} - \frac{a}{2} + \frac{a^2 - 1}{3} + a - a^2 = -\frac{2}{15} + \frac{1}{2}a - \frac{2}{3}a^2 $$

$$ F(-1) = -\frac{1}{5} - \frac{a}{2} - \frac{a^2 - 1}{3} + a + a^2 = \frac{2}{15} + \frac{1}{2}a + \frac{2}{3}a^2 $$

ゆえに、

$$ F(1) + F(-1) = a $$

また、

$$ F(a) = \frac{1}{5}a^5 - \frac{a}{2}a^4 + \frac{a^2 - 1}{3}a^3 + a \cdot a^2 - a^2 \cdot a $$

$$ = \frac{1}{5}a^5 - \frac{1}{2}a^5 + \frac{1}{3}a^5 - \frac{1}{3}a^3 + a^3 - a^3 $$

$$ = \left(\frac{6 - 15 + 10}{30}\right)a^5 - \frac{1}{3}a^3 = \frac{1}{30}a^5 - \frac{1}{3}a^3 $$

したがって、差は以下のように整理できる。

$$ S_1(a) - S_2(a) = a - 2 \left( \frac{1}{30}a^5 - \frac{1}{3}a^3 \right) = -\frac{1}{15}a^5 + \frac{2}{3}a^3 + a = -\frac{a}{15}(a^4 - 10a^2 - 15) $$

$-1 < a < 1$ のとき $0 \leqq a^2 < 1$ であるから、

$$ a^4 - 10a^2 - 15 = (a^2 - 5)^2 - 40 $$

$-5 \leqq a^2 - 5 < -4$ より $16 < (a^2 - 5)^2 \leqq 25$ となるため、

$$ (a^2 - 5)^2 - 40 \leqq 25 - 40 = -15 < 0 $$

よって、$-1 < a < 1$ において常に $a^4 - 10a^2 - 15 < 0$ であり、$S_1(a) - S_2(a)$ の符号は $a$ の符号と一致する。

(i)

$-1 < a < 0$ のとき

$S_1(a) - S_2(a) < 0$ となるため、$S_1(a) < S_2(a)$ が成り立つ。

(ii)

$a = 0$ のとき

$S_1(a) - S_2(a) = 0$ となるため、$S_1(a) = S_2(a)$ が成り立つ。

(iii)

$0 < a < 1$ のとき

$S_1(a) - S_2(a) > 0$ となるため、$S_1(a) > S_2(a)$ が成り立つ。

以上より、題意は示された。

解説

(1)では、積分区間が $[-1, 1]$ となることに気づき、定積分の線形性や偶関数・奇関数の性質を利用することで、計算量を大きく削減できる。(2)については、特別な図形的性質を用いた回避策を練るよりも、直接 $S_1(a)$ と $S_2(a)$ を計算して差をとる方針が確実である。計算の途中で式が煩雑になるため、不定積分を $F(x)$ とおいて整理するなどの記述の工夫が計算ミスを防ぐ鍵となる。