トップ› 大阪大学› 1996年› 文系第3問

大阪大学 1996年文系第3問解説

方針・初手

（1）曲線と $x$ 軸の上下関係から、$S$ と $T$ の面積は定積分を用いて表すことができる。$S=T$ という条件は $\int_0^b f(x) dx = 0$ という1つの等式に帰着される。
（2） $y$ 軸に関する対称移動は $x$ を $-x$ に置き換えること、さらに $x$ 軸方向への $c$ だけの平行移動は $x$ を $x-c$ に置き換えることで求まる。
（3） $T=U$ の条件を立式する際、(2) で得られた曲線の対称性と (1) の結果を上手く組み合わせることで、煩雑な積分計算を回避する誘導になっている。

解法1

(1)

$f(x) = x(x-a)(x-b)(x-c)$ とおく。 $0 < a < b < c$ より、各区間における $f(x)$ の符号は以下のようになる。

$0 < x < a$ のとき、$f(x) < 0$
$a < x < b$ のとき、$f(x) > 0$
$b < x < c$ のとき、$f(x) < 0$

したがって、面積 $S, T$ は次のように表される。

$$ S = \int_0^a \{-f(x)\} dx = -\int_0^a f(x) dx $$

$$ T = \int_a^b f(x) dx $$

$S = T$ が成り立つための必要十分条件は、

$$ -\int_0^a f(x) dx = \int_a^b f(x) dx $$

$$ \int_0^a f(x) dx + \int_a^b f(x) dx = 0 $$

$$ \int_0^b f(x) dx = 0 $$

ここで、被積分関数を展開すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &= (x^2-bx)\{x^2-(a+c)x+ac\} \\ &= x^4 - (a+b+c)x^3 + (ab+bc+ca)x^2 - abcx \end{aligned} $$

となるため、定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^b f(x) dx &= \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{a+b+c}{4}x^4 + \frac{ab+bc+ca}{3}x^3 - \frac{abc}{2}x^2 \right]_0^b \\ &= \frac{1}{5}b^5 - \frac{a+b+c}{4}b^4 + \frac{ab+bc+ca}{3}b^3 - \frac{abc}{2}b^2 \\ &= \frac{b^2}{60} \left\{ 12b^3 - 15(a+b+c)b^2 + 20(ab+bc+ca)b - 30abc \right\} \\ &= \frac{b^2}{60} \left\{ 12b^3 - 15ab^2 - 15b^3 - 15b^2c + 20ab^2 + 20b^2c + 20abc - 30abc \right\} \\ &= \frac{b^2}{60} \left\{ -3b^3 + 5ab^2 + 5b^2c - 10abc \right\} \\ &= \frac{b^3}{60} \left\{ -3b^2 + 5(a+c)b - 10ac \right\} \end{aligned} $$

$b > 0$ より $b^3 \neq 0$ であるから、$\int_0^b f(x) dx = 0$ となるための必要十分条件は、

$$ -3b^2 + 5(a+c)b - 10ac = 0 $$

$$ 3b^2 - 5(a+c)b + 10ac = 0 $$

となり、示された。

(2)

曲線 $y = f(x)$ を $y$ 軸に関して対称移動すると、$x$ を $-x$ に置き換えて、

$$ \begin{aligned} y &= f(-x) \\ &= (-x)(-x-a)(-x-b)(-x-c) \\ &= x(x+a)(x+b)(x+c) \end{aligned} $$

次に、これを $x$ 軸の正の方向に $c$ だけ平行移動すると、$x$ を $x-c$ に置き換えて、

$$ \begin{aligned} y &= f(-(x-c)) \\ &= (x-c)(x-c+a)(x-c+b)(x-c+c) \\ &= x(x-(c-b))(x-(c-a))(x-c) \end{aligned} $$

これが求める曲線の式である。

(3)

$S = T = U$ となるための条件を考える。 $S = T$ より、(1)の条件から

$$ 3b^2 - 5(a+c)b + 10ac = 0 \quad \cdots ① $$

が成り立つ。次に、$T = U$ の条件を考える。

$$ U = \int_b^c \{-f(x)\} dx = -\int_b^c f(x) dx $$

であるから、$T = U$ は

$$ \int_a^b f(x) dx = -\int_b^c f(x) dx $$

$$ \int_a^c f(x) dx = 0 $$

と同値である。ここで、(2)で求めた曲線 $y = g(x) = x(x-(c-b))(x-(c-a))(x-c)$ は、$y = f(x)$ のグラフを左右反転し平行移動したものである。定積分において $x = c - t$ と置換すると、$dx = -dt$ であり、$x$ が $a$ から $c$ まで変化するとき、$t$ は $c-a$ から $0$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} \int_a^c f(x) dx &= \int_{c-a}^0 f(c-t) (-dt) \\ &= \int_0^{c-a} f(c-t) dt \end{aligned} $$

(2)の導出過程から $g(t) = f(-(t-c)) = f(c-t)$ であるため、

$$ \int_a^c f(x) dx = \int_0^{c-a} g(t) dt $$

となる。よって、$T = U$ は $\int_0^{c-a} g(t) dt = 0$ と同値である。

関数 $g(x)$ は、関数 $f(x)$ の交点 $a, b, c$ をそれぞれ $c-b, c-a, c$ に置き換えたものに等しい。したがって、(1)で示した「$\int_0^b f(x) dx = 0 \iff 3b^2 - 5(a+c)b + 10ac = 0$」という関係性を $g(x)$ に対して用いると、$b$ を $c-a$ に、$a$ を $c-b$ に、$c$ を $c$ に置き換えて、

$$ 3(c-a)^2 - 5 \{(c-b)+c\}(c-a) + 10(c-b)c = 0 $$

が得られる。これを整理する。

$$ \begin{aligned} 3(c^2 - 2ac + a^2) - 5(2c-b)(c-a) + 10c^2 - 10bc &= 0 \\ 3c^2 - 6ac + 3a^2 - 5(2c^2 - 2ac - bc + ab) + 10c^2 - 10bc &= 0 \\ 3c^2 - 6ac + 3a^2 - 10c^2 + 10ac + 5bc - 5ab + 10c^2 - 10bc &= 0 \\ 3c^2 + 4ac - 5bc + 3a^2 - 5ab &= 0 \quad \cdots ② \end{aligned} $$

①より $5bc = 3b^2 - 5ab + 10ac$ となるため、これを②に代入する。

$$ \begin{aligned} 3c^2 + 4ac - (3b^2 - 5ab + 10ac) + 3a^2 - 5ab &= 0 \\ 3c^2 - 6ac - 3b^2 + 3a^2 &= 0 \\ 3(c^2 - 2ac + a^2) - 3b^2 &= 0 \\ (c-a)^2 - b^2 &= 0 \end{aligned} $$

$0 < a < b < c$ より $c-a > 0$ かつ $b > 0$ であるから、

$$ c - a = b \iff c = a + b \quad \cdots ③ $$

③を①に代入して $c$ を消去する。

$$ \begin{aligned} 3b^2 - 5(a + a + b)b + 10a(a + b) &= 0 \\ 3b^2 - 10ab - 5b^2 + 10a^2 + 10ab &= 0 \\ -2b^2 + 10a^2 &= 0 \\ b^2 &= 5a^2 \end{aligned} $$

$a > 0, b > 0$ より $b = \sqrt{5}a$ となる。これを③に代入して、$c = a + \sqrt{5}a = (1+\sqrt{5})a$ を得る。

このとき、$a < \sqrt{5}a < (1+\sqrt{5})a$ となり、$0 < a < b < c$ を満たす。よって、$b = \sqrt{5}a, \ c = (1+\sqrt{5})a$ である。

解説

(1) で求めた「隣り合う2つの面積が等しくなる条件式」をうまく使い回すことが主題の問題である。
(2) は (3) への強力な誘導となっている。$S=T=U$ の後半の条件 $T=U \iff \int_a^c f(x) dx = 0$ をそのまま計算しようとすると膨大な計算量になるが、(2) で求めたグラフが元のグラフを裏返したものであることに着目し、(1) の計算結果のパラメータを置き換えて再利用することで、計算の負担を大幅に削減できる。
前の設問の結果がどのように次の設問の布石になっているかを見抜く力が問われる。