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大阪大学 1982年文系第1問解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を微分し、導関数 $f'(x)$ の符号変化を調べて増減表を作成する。導関数の式を $=0$ となる $x$ を求めやすくするため、和積の公式や倍角・3倍角の公式を用いて因数分解する。

解法1

関数 $f(x) = \frac{1}{3} \sin 3x - 2 \sin 2x + \sin x$ を $x$ について微分する。

$$ f'(x) = \cos 3x - 4 \cos 2x + \cos x $$

和と積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いて、$\cos 3x + \cos x$ の部分を変形する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (\cos 3x + \cos x) - 4 \cos 2x \\ &= 2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} - 4 \cos 2x \\ &= 2 \cos 2x \cos x - 4 \cos 2x \\ &= 2 \cos 2x (\cos x - 2) \end{aligned} $$

区間 $[0, \pi]$ において、常に $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ であるから、$\cos x - 2 < 0$ が成り立つ。したがって、$f'(x)$ の符号は $\cos 2x$ の符号と逆になる。

$f'(x) = 0$ となるのは $\cos 2x = 0$ のときであり、$0 \leqq x \leqq \pi$ より $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ であるから、

$$ 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi $$

すなわち、

$$ x = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi $$

となる。これをもとに、区間 $[0, \pi]$ における $f(x)$ の増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{3}{4}\pi$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$0$

それぞれの $x$ における $f(x)$ の値を計算する。

端点の値は、

$$ f(0) = \frac{1}{3} \sin 0 - 2 \sin 0 + \sin 0 = 0 $$

$$ f(\pi) = \frac{1}{3} \sin 3\pi - 2 \sin 2\pi + \sin \pi = 0 $$

極小値は、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{1}{3} \sin \frac{3}{4}\pi - 2 \sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} - 2 + \frac{3\sqrt{2}}{6} \\ &= \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2 \end{aligned} $$

極大値は、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{3}{4}\pi\right) &= \frac{1}{3} \sin \frac{9}{4}\pi - 2 \sin \frac{3}{2}\pi + \sin \frac{3}{4}\pi \\ &= \frac{1}{3} \sin \frac{\pi}{4} - 2 \cdot (-1) + \sin \frac{3}{4}\pi \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} + 2 + \frac{3\sqrt{2}}{6} \\ &= \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2 \end{aligned} $$

$\frac{2\sqrt{2}}{3} > 0$ であるから、$\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2 > 0$ であり、これが最大値となる。また、$\sqrt{2} < 1.5$ より $\frac{2\sqrt{2}}{3} < 1$ であるから、$\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2 < -1 < 0$ であり、これが最小値となる。

解法2

導関数 $f'(x)$ の因数分解において、倍角の公式と3倍角の公式を用いることもできる。

$$ f'(x) = \cos 3x - 4 \cos 2x + \cos x $$

ここで、3倍角の公式 $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ と、倍角の公式 $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ を代入する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (4 \cos^3 x - 3 \cos x) - 4(2 \cos^2 x - 1) + \cos x \\ &= 4 \cos^3 x - 8 \cos^2 x - 2 \cos x + 4 \end{aligned} $$

前半の2項と後半の2項をそれぞれくくり出すことで因数分解を進める。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 4 \cos^2 x (\cos x - 2) - 2(\cos x - 2) \\ &= (4 \cos^2 x - 2)(\cos x - 2) \\ &= 2(2 \cos^2 x - 1)(\cos x - 2) \end{aligned} $$

再び倍角の公式 $2 \cos^2 x - 1 = \cos 2x$ を適用すると、

$$ f'(x) = 2 \cos 2x (\cos x - 2) $$

となり、解法1と同じ式が得られる。以下の増減の調べ方と値の計算は解法1と同様である。

解説

三角関数の微分と増減表を用いた最大値・最小値問題の典型的なパターンである。導関数を求めた後、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値や $f'(x)$ の符号を調べるために、式をどのように積の形（因数分解）に持ち込むかがポイントとなる。和と積の公式を利用して項をまとめるアプローチ（解法1）が計算量も少なく簡明だが、角を $x$ に統一するために倍角・3倍角の公式を用いるアプローチ（解法2）でも無理なく解き進めることができる。