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大阪大学 2019年理系第3問解説

方針・初手

点 $(s+t, st)$ が動く領域を求めるために、$x = s+t$, $y = st$ とおき、$s, t$ が実数として存在するための条件を考える。これは $s, t$ を解にもつ2次方程式の判別式を利用する定石の処理である。さらに、与えられた不等式 $s^2+t^2 \leqq 6$ を $x, y$ の式で表し、それらを同時に満たす領域を特定する。領域が求まったら、(1)は点の代入による判定、(2)は不等式が表す領域の図示、(3)は領域の $x$ 軸周りの回転体の体積計算へと進む。回転体の体積においては、領域と $x$ 軸との位置関係（領域が $x$ 軸を跨ぐかどうか、外側の境界線はどちらか）に注意して積分区間を分割する必要がある。

解法1

$x = s+t$, $y = st$ とおく。 $s, t$ は2次方程式 $k^2 - xk + y = 0$ の2つの解である。 $s, t$ は実数であるから、この2次方程式は実数解をもつ。その判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ が成り立つので、

$$ D = x^2 - 4y \geqq 0 $$

$$ y \leqq \frac{1}{4}x^2 \cdots \text{①} $$

また、条件 $s^2 + t^2 \leqq 6$ について、基本対称式を用いて変形すると、

$$ (s+t)^2 - 2st \leqq 6 $$

$$ x^2 - 2y \leqq 6 $$

$$ y \geqq \frac{1}{2}x^2 - 3 \cdots \text{②} $$

したがって、領域 A は①および②を同時に満たす $(x, y)$ の集合である。

(1) 点 $(2, \sqrt{2})$ が領域 A に含まれるか調べるため、$x = 2$, $y = \sqrt{2}$ を①, ②の条件に代入する。 $x = 2$ のとき、

$$ \frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = 1 $$

$$ \frac{1}{2}x^2 - 3 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 3 = -1 $$

領域 A に含まれるための条件は $-1 \leqq y \leqq 1$ であるが、$y = \sqrt{2} > 1$ であるため、条件①を満たさない。よって、点 $(2, \sqrt{2})$ は領域 A の点ではない。

(2) 領域 A は、2つの放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$ で囲まれた領域である（境界線を含む）。 2つの放物線の交点の $x$ 座標は、

$$ \frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{2}x^2 - 3 $$

$$ x^2 = 12 $$

$$ x = \pm 2\sqrt{3} $$

交点は $(2\sqrt{3}, 3), (-2\sqrt{3}, 3)$ である。領域 A は、$y$ 軸に関して対称であり、下側を $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$、上側を $y = \frac{1}{4}x^2$ に囲まれた部分である。

(3) 領域 A を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。領域 A は $y$ 軸に関して対称であるため、$x \geqq 0$ の部分を回転させた体積を求め、それを2倍する。

$y_1 = \frac{1}{4}x^2$, $y_2 = \frac{1}{2}x^2 - 3$ とおく。ある $x$ を固定して考えるとき、線分 $y_2 \leqq y \leqq y_1$ を $x$ 軸のまわりに回転させた図形の断面積 $S(x)$ は、原点からの距離の最大値と最小値によって決まる。

(i)

$0 \leqq x \leqq 2$ のとき $y_2 \leqq 0 \leqq y_1$ であり、 $|y_2| - |y_1| = \left( 3 - \frac{1}{2}x^2 \right) - \frac{1}{4}x^2 = 3 - \frac{3}{4}x^2 = \frac{3}{4}(4 - x^2) \geqq 0$ したがって、$|y_2| \geqq |y_1|$ となる。回転させると、$y$ の範囲は $0$ を含むため内部に空洞はできず、断面は半径 $|y_2|$ の円となる。

$$ S(x) = \pi y_2^2 = \pi \left( \frac{1}{2}x^2 - 3 \right)^2 $$

(ii)

$2 \leqq x \leqq \sqrt{6}$ のとき $y_2 \leqq 0 \leqq y_1$ であり、（i）とは逆に $|y_1| \geqq |y_2|$ となる。回転させると、$y$ の範囲は $0$ を含むため内部に空洞はできず、断面は半径 $|y_1|$ の円となる。

$$ S(x) = \pi y_1^2 = \pi \left( \frac{1}{4}x^2 \right)^2 $$

(iii)

$\sqrt{6} \leqq x \leqq 2\sqrt{3}$ のとき $0 \leqq y_2 \leqq y_1$ となる。回転させると、外径 $y_1$、内径 $y_2$ の円環となる。

$$ S(x) = \pi (y_1^2 - y_2^2) = \pi \left\{ \left(\frac{1}{4}x^2\right)^2 - \left(\frac{1}{2}x^2 - 3\right)^2 \right\} $$

それぞれの区間で積分を計算する。

(i)の積分

$$ I_1 = \int_0^2 \left( \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 \right) dx = \left[ \frac{x^5}{20} - x^3 + 9x \right]_0^2 = \frac{32}{20} - 8 + 18 = \frac{58}{5} $$

(ii)の積分

$$ I_2 = \int_2^{\sqrt{6}} \frac{1}{16}x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{80} \right]_2^{\sqrt{6}} = \frac{36\sqrt{6} - 32}{80} = \frac{9\sqrt{6} - 8}{20} $$

(iii)の積分

$$ I_3 = \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} \left\{ \frac{1}{16}x^4 - \left( \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 \right) \right\} dx = \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} \left( -\frac{3}{16}x^4 + 3x^2 - 9 \right) dx $$

$$ I_3 = \left[ -\frac{3}{80}x^5 + x^3 - 9x \right]_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} $$

$x = 2\sqrt{3}$ のとき、代入した値は

$$ -\frac{3}{80}(288\sqrt{3}) + 24\sqrt{3} - 18\sqrt{3} = -\frac{54}{5}\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = -\frac{24\sqrt{3}}{5} $$

$x = \sqrt{6}$ のとき、代入した値は

$$ -\frac{3}{80}(36\sqrt{6}) + 6\sqrt{6} - 9\sqrt{6} = -\frac{27}{20}\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = -\frac{87\sqrt{6}}{20} $$

よって、

$$ I_3 = -\frac{24\sqrt{3}}{5} - \left( -\frac{87\sqrt{6}}{20} \right) = \frac{-96\sqrt{3} + 87\sqrt{6}}{20} $$

これらの和を求めると、

$$ I_1 + I_2 + I_3 = \frac{232}{20} + \frac{9\sqrt{6} - 8}{20} + \frac{-96\sqrt{3} + 87\sqrt{6}}{20} $$

$$ = \frac{224 - 96\sqrt{3} + 96\sqrt{6}}{20} = \frac{56 - 24\sqrt{3} + 24\sqrt{6}}{5} $$

対称性を考慮し、体積 $V$ はこの値の $2\pi$ 倍となる。

$$ V = 2\pi (I_1 + I_2 + I_3) = \frac{112 - 48\sqrt{3} + 48\sqrt{6}}{5}\pi $$

解説

対称式で表された座標の軌跡を求める標準的な問題からスタートし、最後は $x$ 軸周りの回転体の体積計算を行う総合問題である。 (3) の回転体の体積計算において、領域 A が $x$ 軸を跨ぐ部分を持つことに注意が必要である。回転軸を跨ぐ領域を回転させる場合、回転軸からの距離（$y$ 座標の絶対値）の最大値が外側の半径に、最小値が内側の半径になる。本問では、$-\sqrt{6} \leqq x \leqq \sqrt{6}$ の範囲において $y$ が $0$ を取り得るため、回転体に空洞ができない（内径が $0$ になる）。さらに、その外径が $x$ の値によって下の境界線の絶対値 $|y_2|$ になる区間と、上の境界線 $y_1$ になる区間が切り替わるため、大小比較を行って積分区間を3つに分ける必要があり、計算の正確さが求められる。