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大阪大学 1990年理系第1問解説

方針・初手

(1) では、$2$ 次関数 $h(x)$ のグラフが放物線であり、その軸に関して対称であることを数式で表現する。これを $f(x) = g(h(x))$ に代入して対称性を示す。

(2) では、関数 $f(x)$ のグラフが直線 $x=p$ に関して対称であることを数式で表す。そのままでは扱いづらいため、関数を $x$ 軸方向に $-p$ 平行移動して $y$ 軸対称（偶関数）の問題に帰着させる。整式の偶関数は $x^2$ の多項式として表せることを利用する。

解法1

(1)

$h(x)$ は $2$ 次式であるから、実数 $a, p, q$（ただし $a \neq 0$）を用いて、平方完成された形である

$$ h(x) = a(x-p)^2 + q $$

と表すことができる。

任意の実数 $t$ に対して、

$$ \begin{aligned} h(p+t) &= a(p+t-p)^2 + q = at^2 + q \\ h(p-t) &= a(p-t-p)^2 + q = a(-t)^2 + q = at^2 + q \end{aligned} $$

であるから、

$$ h(p+t) = h(p-t) $$

が成り立つ。

したがって、$f(x) = g(h(x))$ において、

$$ f(p+t) = g(h(p+t)) = g(h(p-t)) = f(p-t) $$

が成り立つ。

これは、任意の $t$ について $x=p$ から左右に $t$ だけ離れた点での $y$ 座標が等しいことを意味しており、関数 $y = f(x)$ のグラフが直線 $x = p$ に関して対称であることを示している。（$p=0$ のときは $y$ 軸に関して対称であり、$p \neq 0$ のときは $y$ 軸に平行な直線に関して対称である。）

よって、題意は示された。

(2)

関数 $y = f(x)$ のグラフが直線 $x = p$（$p$ は実数）に関して対称であるとする。このとき、任意の実数 $x$ に対して、

$$ f(p+x) = f(p-x) $$

が成り立つ。

ここで、関数 $F(x)$ を

$$ F(x) = f(x+p) $$

と定める。$f(x)$ は整式であるから、$x$ を $x+p$ に置き換えた $F(x)$ も整式である。

また、任意の $x$ について

$$ F(-x) = f(-x+p) = f(p-x) = f(p+x) = F(x) $$

が成り立つので、$F(x)$ は偶関数である。

整式 $F(x)$ が偶関数であるとき、$F(x)$ を展開した式において奇数次の項の係数はすべて $0$ となるため、$F(x)$ は $x$ の偶数次の項と定数項のみからなる多項式である。したがって、$F(x)$ はある整式 $G(X)$ を用いて、

$$ F(x) = G(x^2) $$

と表すことができる。

$F(x) = f(x+p)$ において、$x$ を $x-p$ に置き換えると、

$$ f(x) = F(x-p) = G((x-p)^2) $$

となる。

ここで、$g(x) = G(x)$、$h(x) = (x-p)^2$ とおく。 $G(X)$ は整式であるから $g(x)$ も整式であり、$h(x) = x^2 - 2px + p^2$ は $2$ 次式である。

このとき、

$$ f(x) = g(h(x)) $$

と書けることが示された。

解説

関数 $y=f(x)$ のグラフが直線 $x=p$ に関して対称であるための必要十分条件は、任意の実数 $x$ に対して $f(p+x)=f(p-x)$（または $f(x)=f(2p-x)$）が成り立つことである。この定義式を正確に立式できるかがポイントである。

（2）では、直線 $x=p$ に関する対称性を直接扱うよりも、$x$ 軸方向に $-p$ 平行移動した関数 $F(x) = f(x+p)$ を考えることで、$y$ 軸対称（偶関数）に帰着させると論証が見えやすくなる。整式の偶関数が $x^2$ の多項式になるという性質は、式変形の基本的な技術として非常に重要である。