トップ› 大阪大学› 1994年› 文系第3問

大阪大学 1994年文系第3問解説

方針・初手

行列 $A$ が原点中心の回転と拡大を表すことに着目する。行列 $A$ を極形式のように定数倍と回転行列の積に変形することで、自然数 $n$ に対する $A^n$ を容易に求めることができる。これにより $\vec{x_n}$ の各成分を $n$ の式で表し、それが図形 $R$ を定める不等式を満たすような $n$ を絞り込む。

解法1

行列 $A$ は次のように変形できる。

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} \cos\frac{2}{3}\pi & -\sin\frac{2}{3}\pi \\ \sin\frac{2}{3}\pi & \cos\frac{2}{3}\pi \end{pmatrix} $$

したがって、$A$ による1次変換は、原点を中心とする $\frac{2}{3}\pi$ の回転と、原点を中心とする相似比 $2$ の拡大の合成である。これより、$A^n$ は次のように求められる。

$$ A^n = 2^n \begin{pmatrix} \cos\frac{2n}{3}\pi & -\sin\frac{2n}{3}\pi \\ \sin\frac{2n}{3}\pi & \cos\frac{2n}{3}\pi \end{pmatrix} $$

与えられた $\vec{x_0} = \begin{pmatrix} \frac{1}{16} \\ 0 \end{pmatrix}$ に対して、$\vec{x_n} = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ とおくと、

$$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} \frac{1}{16} \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2^n}{16} \begin{pmatrix} \cos\frac{2n}{3}\pi \\ \sin\frac{2n}{3}\pi \end{pmatrix} = 2^{n-4} \begin{pmatrix} \cos\frac{2n}{3}\pi \\ \sin\frac{2n}{3}\pi \end{pmatrix} $$

図形 $R$ は $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \leqq y \leqq 1$ で定められる。 $\vec{x_n}$ が $R$ に含まれるためには、少なくとも $y_n \geqq \frac{1}{2}x_n^2 + \frac{1}{2} \geqq \frac{1}{2} > 0$ を満たす必要がある。

$$ y_n = 2^{n-4} \sin\frac{2n}{3}\pi > 0 $$

これを満たす自然数 $n$ は、$n \equiv 1 \pmod 3$ の場合のみである。（$n \equiv 0 \pmod 3$ のときは $\sin\frac{2n}{3}\pi = 0$、$n \equiv 2 \pmod 3$ のときは $\sin\frac{2n}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ となり、いずれも不適である。）

そこで、$k$ を $0$ 以上の整数として、$n = 3k+1$ とおく。このとき、

$$ \cos\frac{2(3k+1)}{3}\pi = \cos\left(2k\pi + \frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2} $$

$$ \sin\frac{2(3k+1)}{3}\pi = \sin\left(2k\pi + \frac{2}{3}\pi\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

となるから、$x_n$ および $y_n$ は次のようになる。

$$ x_n = -2^{n-5}, \quad y_n = \sqrt{3} \cdot 2^{n-5} $$

さらに、$\vec{x_n}$ が $R$ に含まれるためには $y_n \leqq 1$ である必要がある。

$$ \sqrt{3} \cdot 2^{n-5} \leqq 1 \iff 2^{n-5} \leqq \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \dots (*) $$

これを満たす $n = 3k+1$ の候補を調べる。

(i)

$n=1$ のとき

$2^{-4} = \frac{1}{16} \leqq \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす。このとき、$x_1 = -\frac{1}{16}$、$y_1 = \frac{\sqrt{3}}{16}$ である。これらが $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \leqq y$ を満たすか確かめる。

$$ \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{16} \right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{512} + \frac{256}{512} = \frac{257}{512} $$

$$ y_1 = \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{32\sqrt{3}}{512} = \frac{\sqrt{3072}}{512} $$

$\sqrt{3072} < \sqrt{3136} = 56$ より、分子について $32\sqrt{3} < 257$ となるため、$\frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2} > y_1$ となり条件を満たさない。

(ii)

$n=4$ のとき

$2^{-1} = \frac{1}{2} \leqq \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす（$\sqrt{3} \leqq 2$ より明らか）。このとき、$x_4 = -\frac{1}{2}$、$y_4 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。これらが $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \leqq y$ を満たすか確かめる。

$$ \frac{1}{2}x_4^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} $$

$$ y_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{48}}{8} $$

$5 = \sqrt{25} < \sqrt{48}$ より、$\frac{5}{8} \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ となり条件を満たす。また、$y_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} \leqq 1$ も満たす。よって $n=4$ は適する。

(iii)

$n \geqq 7$ のとき

$n$ は $n=3k+1$ を満たす自然数であるから、$n \geqq 7$ のとき $2^{n-5} \geqq 2^2 = 4$ となる。したがって $y_n = \sqrt{3} \cdot 2^{n-5} \geqq 4\sqrt{3} > 1$ となり、条件 $(*)$ に反するため不適である。

以上より、求める自然数 $n$ は $4$ のみである。

解説

行列の $n$ 乗を計算する典型的な問題である。行列が定数倍と回転行列の積で表せることに気づけば、成分を具体的に求めることができる。その後の不等式による評価では、$y_n > 0$ という大前提に気づくことで、調べるべき $n$ の候補を $n \equiv 1 \pmod 3$ に絞ることができる。また、$n$ が大きくなると $y$ 座標も指数関数的に大きくなるため、$y \leqq 1$ の条件から実質的に $n=1$ と $n=4$ のみを調べればよいことがわかる。