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大阪大学 2021年理系第1問解説

方針・初手

接線の方程式を立て、それが点 $P(a, b)$ を通るという条件から、接点の $x$ 座標についての2次方程式を導く。 2つの接点の $x$ 座標 $s, t$ はこの方程式の解となるため、解の公式を用いて $s, t$ を $a, b$ で表すことができる。後半は、求めたい値 $\frac{t}{s}$ を $ab$ の式として表し、関数の単調性から $ab$ の最大値を求める問題に帰着させる。

解法1

(1)

曲線 $y = \frac{1}{x}$ を微分すると、

$$ y' = -\frac{1}{x^2} $$

となる。接点の $x$ 座標を $u \ (u > 0)$ とすると、点 $\left(u, \frac{1}{u}\right)$ における接線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2}(x - u) $$

$$ y = -\frac{1}{u^2}x + \frac{2}{u} $$

この接線が点 $P(a, b)$ を通るので、

$$ b = -\frac{a}{u^2} + \frac{2}{u} $$

両辺に $u^2$ を掛けて整理すると、

$$ bu^2 - 2u + a = 0 $$

この $u$ についての2次方程式が、異なる2つの正の解 $s, t \ (s < t)$ をもつ。判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-1)^2 - ab = 1 - ab $$

条件より $ab < 1$ であるから、$\frac{D}{4} > 0$ となり、方程式は確かに異なる2つの実数解をもつ。解の公式より、

$$ u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - ab}}{b} $$

$b > 0$ であり、$s < t$ であるから、

$$ s = \frac{1 - \sqrt{1 - ab}}{b} $$

$$ t = \frac{1 + \sqrt{1 - ab}}{b} $$

(2)

（1）の結果より、

$$ \frac{t}{s} = \frac{\frac{1 + \sqrt{1 - ab}}{b}}{\frac{1 - \sqrt{1 - ab}}{b}} = \frac{1 + \sqrt{1 - ab}}{1 - \sqrt{1 - ab}} $$

ここで、$k = \sqrt{1 - ab}$ とおく。 $a > 0, b > 0$ より $ab > 0$ であり、条件 $ab < 1$ と合わせると $0 < ab < 1$ であるから、$0 < k < 1$ となる。これを代入して変形すると、

$$ \frac{t}{s} = \frac{1 + k}{1 - k} = \frac{-(1 - k) + 2}{1 - k} = -1 + \frac{2}{1 - k} $$

$0 < k < 1$ の範囲において、$k$ が小さいほど $1 - k$ は大きくなり、$\frac{2}{1 - k}$ は小さくなるため、$\frac{t}{s}$ は減少する。すなわち、$k$ が最小となるとき、$\frac{t}{s}$ は最小となる。 $k = \sqrt{1 - ab}$ であるから、$k$ が最小となるのは $ab$ が最大のときである。

点 $P(a, b)$ は曲線 $y = \frac{9}{4} - 3x^2$ 上の $x > 0, y > 0$ をみたす部分にあるため、

$$ b = \frac{9}{4} - 3a^2 $$

また、$a > 0$ かつ $b > 0$ より、$\frac{9}{4} - 3a^2 > 0$ すなわち $a^2 < \frac{3}{4}$ となるため、

$$ 0 < a < \frac{\sqrt{3}}{2} $$

このとき、$ab$ を $a$ の関数として $f(a)$ とおくと、

$$ f(a) = a\left(\frac{9}{4} - 3a^2\right) = -3a^3 + \frac{9}{4}a $$

$f(a)$ を $a$ で微分すると、

$$ f'(a) = -9a^2 + \frac{9}{4} = -9\left(a^2 - \frac{1}{4}\right) $$

$f'(a) = 0$ となる $a$ は、$a > 0$ より $a = \frac{1}{2}$ である。 $0 < a < \frac{\sqrt{3}}{2}$ における $f(a)$ の増減は以下のようになる。

$0 < a < \frac{1}{2}$ のとき $f'(a) > 0$ であり単調増加 $a = \frac{1}{2}$ のとき $f'(a) = 0$ $\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $f'(a) < 0$ であり単調減少

したがって、$f(a)$ は $a = \frac{1}{2}$ で最大となる。このとき、最大値は、

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) = -3\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{9}{4}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8} + \frac{9}{8} = \frac{3}{4} $$

となり、これは条件 $ab < 1$ を満たしている。また、そのときの $b$ の値は、

$$ b = \frac{9}{4} - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{2} $$

よって、$ab$ の最大値は $\frac{3}{4}$ であり、このとき $k = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ である。以上より、$\frac{t}{s}$ の最小値は、

$$ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 $$

解説

（1）は「曲線外の点から引いた接線」の定石通り、接点を文字でおいて接線の方程式を立てることから始める。（2）は式をよく観察し、$\frac{t}{s}$ が $ab$ のみの関数になることを見抜くことが重要である。複雑な無理関数をそのまま微分するのではなく、$\sqrt{1 - ab}$ をひとかたまりとして捉え、$ab$ の最大値を求める多項式の問題に帰着させると計算量を大幅に減らすことができる。