トップ› 京都大学› 1990年› 文系第4問

京都大学 1990年文系第4問解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分して導関数を求め、関数の増減を調べます。常に単調増加であることを示し、特徴的な点（変曲点や軸との交点）を明確にしてグラフの概形を捉えます。 (2)

$n=1$ のときの $f(x)=x$ の解を調べたうえで、$x > 1$ と $x < 1$ の場合に分けて、$f_n(x)$ と $x$ の大小関係を考えます。(1) で示した「$f(x)$ が単調増加である」という性質と「$f(x) > x$ （または $f(x) < x$）」という関係から、数学的帰納法を用いて論証します。

解法1

(1)

$f(x) = (x-1)^3 + x$ $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 3(x-1)^2 + 1 $$

すべての実数 $x$ に対して $(x-1)^2 \geqq 0$ であるから、$f'(x) \geqq 1 > 0$ となる。したがって、関数 $f(x)$ はすべての実数で単調に増加し、極値をもたない。さらに第2次導関数を求めると、

$$ f''(x) = 6(x-1) $$

$x=1$ のとき $f''(1) = 0$ であり、$x=1$ の前後で $f''(x)$ の符号が負から正へ変わるため、点 $(1, 1)$ は変曲点である。また、$x=0$ のとき $f(0) = (-1)^3 + 0 = -1$ より、グラフは $y$ 軸と点 $(0, -1)$ で交わる。さらに、$f(x) - 1 = (x-1)^3 + (x-1)$ より、グラフは変曲点 $(1, 1)$ に関して点対称な曲線となる。

以上より、関数 $y=f(x)$ のグラフは以下の特徴をもつ曲線である。

定義域は実数全体で、常に単調に増加する。
点 $(1, 1)$ を変曲点とし、この点に関して点対称である。
$y$ 軸と点 $(0, -1)$ で交わる。

(2)

まず、$n=1$ のとき、$f(x) = x$ を解くと

$$ (x-1)^3 + x = x $$

$$ (x-1)^3 = 0 $$

よって、$x = 1$ が唯一の解である。

次に、$n \geqq 2$ の場合について考える。

(i)

$x > 1$ のとき

$x - 1 > 0$ より $(x-1)^3 > 0$ であるから、

$$ f(x) - x = (x-1)^3 > 0 $$

すなわち $f(x) > x > 1$ が成り立つ。ここで、任意の自然数 $k$ について $f_k(x) > x$ が成り立つことを、数学的帰納法で示す。 (a)

$k=1$ のときは、$f_1(x) = f(x) > x$ より成り立つ。 (b)

$k=m$ のとき、$f_m(x) > x$ が成り立つと仮定する。 (1) より $f(x)$ は単調増加関数であるから、仮定の両辺に $f$ を適用すると

$$ f(f_m(x)) > f(x) $$

$$ f_{m+1}(x) > f(x) $$

$f(x) > x$ であるから、$f_{m+1}(x) > x$ となり、$k=m+1$ のときも成り立つ。 (a), (b) より、任意の自然数 $n$ について $f_n(x) > x$ が成り立つ。したがって、$f_n(x) = x$ を満たす解は存在しない。

(ii)

$x < 1$ のとき

$x - 1 < 0$ より $(x-1)^3 < 0$ であるから、

$$ f(x) - x = (x-1)^3 < 0 $$

すなわち $f(x) < x < 1$ が成り立つ。（i）と同様に数学的帰納法を用いて証明する。 $f_m(x) < x$ と仮定すると、$f(x)$ は単調増加関数であるから、仮定の両辺に $f$ を適用して

$$ f(f_m(x)) < f(x) $$

$$ f_{m+1}(x) < f(x) < x $$

よって、任意の自然数 $n$ について $f_n(x) < x$ が成り立つ。したがって、$f_n(x) = x$ を満たす解は存在しない。

(iii)

$x = 1$ のとき

$f(1) = (1-1)^3 + 1 = 1$ であるから、

$$ f_2(1) = f(f(1)) = f(1) = 1 $$

帰納的に、すべての自然数 $n$ について $f_n(1) = 1$ となる。よって、$x = 1$ は $f_n(x) = x$ の解である。

(i), (ii), (iii) より、どんな $n \geqq 1$ についても、$f_n(x) = x$ の解は $x = 1$ に限ることが示された。

解説

合成関数の反復適用に関する方程式の解を論証する問題です。(1) で関数の単調増加性を確認させ、(2) でそれを利用させるという親切な誘導になっています。一般に、単調増加関数 $f(x)$ に対して、$f(x) > x$ となる区間では $f_n(x)$ の列は単調に増加して $x$ から遠ざかり、$f(x) < x$ となる区間では単調に減少して $x$ から遠ざかります。この性質を利用することで、方程式 $f_n(x) = x$ を直接解くことなく（高次方程式になるため事実上不可能です）、解が存在しない区間を鮮やかに論証できます。グラフを考える際にも、直線 $y=x$ と曲線 $y=f(x)$ の上下関係が視覚的なイメージとして役立ちます。