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大阪大学 2023年文系第1問解説

方針・初手

$\sin\theta = x$ とおき、方程式を $x$ の方程式に書き換える。$\theta$ が実数解をもつ条件は、$x$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲に実数解をもつことと同値である。等式が2つ、パラメータが $x$ の1つであるため、点 $(a, b)$ の存在範囲は領域ではなく、1つの「曲線（軌跡）」となることに着目する。媒介変数表示の微分を用いて曲線の概形を調べるか、$x$ を消去して $a, b$ の方程式を導く方針が考えられる。

解法1

$\sin\theta = x$ とおくと、$\theta$ が実数全体を動くとき、$x$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 1 - 2x^2$ であるから、与えられた方程式は

$$ \begin{cases} 1 - 2x^2 = b \quad \cdots \text{(1)} \\ ax = b \quad \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

となる。これが $-1 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数解 $x$ をもつような点 $(a, b)$ の軌跡を求める。

(2)において $x=0$ とすると $b=0$ となるが、このとき(1)は $1 = 0$ となり矛盾する。したがって $x \neq 0$ である。よって、点 $(a, b)$ は $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$ を媒介変数として

$$ \begin{cases} a = \frac{1 - 2x^2}{x} = \frac{1}{x} - 2x \\ b = 1 - 2x^2 \end{cases} $$

と表される曲線上を動く。ここで、$f(x) = \frac{1}{x} - 2x$、$g(x) = 1 - 2x^2$ とおく。 $f(-x) = -f(x)$、$g(-x) = g(x)$ であるから、点 $(f(-x), g(-x))$ は点 $(-f(x), g(x))$ となる。これは曲線が $b$ 軸（$y$ 軸）に関して対称であることを示している。したがって、まず $x \in (0, 1]$ の範囲について調べる。

$x$ で微分すると

$$ f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 2 < 0 $$

$$ g'(x) = -4x < 0 $$

これより、$x$ が $0$ から $1$ まで増加するとき、$a$ と $b$ はともに単調に減少する。また、曲線の傾き $\frac{db}{da}$ は

$$ \frac{db}{da} = \frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{-4x}{-\frac{1}{x^2} - 2} = \frac{4x^3}{1 + 2x^2} > 0 $$

となる。さらに曲線の凹凸を調べるため、これを $a$ で微分すると

$$ \frac{d^2b}{da^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x^3}{1 + 2x^2}\right) \cdot \frac{dx}{da} $$

$$ = \frac{12x^2(1 + 2x^2) - 4x^3 \cdot 4x}{(1 + 2x^2)^2} \cdot \frac{1}{f'(x)} $$

$$ = \frac{12x^2 + 8x^4}{(1 + 2x^2)^2} \cdot \frac{-x^2}{1 + 2x^2} < 0 $$

よって、この曲線は $ab$ 平面において上に凸である。

極限と端点について調べる。

$$ \lim_{x \to +0} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to +0} g(x) = 1 $$

より、直線 $b = 1$ が漸近線となる。 $x = 1$ のとき、$(a, b) = (-1, -1)$ であり、これが曲線の端点となる。また、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$(a, b) = (0, 0)$ を通る。

$x \in [-1, 0)$ の部分は、対称性より上記の曲線を $b$ 軸に関して対称移動したものであり、端点は $(1, -1)$、漸近線は $b=1$ である。

解法2

$\sin\theta = x$ とおき、連立方程式

$$ \begin{cases} 1 - 2x^2 = b \quad \cdots \text{(1)} \\ ax = b \quad \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

が $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲に実数解をもつ条件を考える。 (1)より $x^2 = \frac{1 - b}{2}$ である。$-1 \leqq x \leqq 1$ より $0 \leqq x^2 \leqq 1$ であるから、

$$ 0 \leqq \frac{1 - b}{2} \leqq 1 \iff -1 \leqq b \leqq 1 $$

が必要である。このとき、(1)を満たす $x$ は $x = \pm \sqrt{\frac{1 - b}{2}}$ として存在する。これらが(2)を満たすための条件を求める。

$x=0$ のとき、(1)より $b=1$ となるが、これを(2)に代入すると $1=0$ となり矛盾する。よって $x \neq 0$、すなわち $b \neq 1$ である。したがって $b$ のとり得る範囲は $-1 \leqq b < 1$ となる。

$x \neq 0$ のとき、(2)が成り立つことは、(2)の両辺を2乗した

$$ b^2 = a^2 x^2 \quad \cdots \text{(3)} $$

が成り立つことと同値である。（なぜなら、$x = \pm \sqrt{\frac{1 - b}{2}}$ のいずれか一方が(2)を満たせばよく、(3)が成り立てば $b = ax$ または $b = -ax$ のいずれかが成立するため、複号を適切に選べば必ず(2)を満たす $x$ が得られるからである。）

(3)に $x^2 = \frac{1 - b}{2}$ を代入すると、

$$ b^2 = a^2 \cdot \frac{1 - b}{2} \iff 2b^2 = a^2(1 - b) $$

を得る。以上より、求める存在範囲は、曲線 $2b^2 = a^2(1 - b)$ （ただし $-1 \leqq b < 1$）である。