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大阪大学 1993年理系第5問解説

方針・初手

点 $P(x, f(x))$、点 $Q(x, f(x)+1)$ に対し、ベクトル $\vec{PQ}$ と $\vec{PO}$ のなす角と接線・法線の関係を定式化する。「法線が角の二等分線になる」という条件は、ベクトルを用いた内積の式で表すか、法線方向のベクトルがそれぞれの方向の単位ベクトルの和と平行になることから立式できる。立式した方程式の両辺を $x$ で微分し、元の式を再利用して整理することで、階数の高い微分方程式を導出・解答していく。

解法1

(1)

点 $P(x, f(x))$ に対して、$\vec{PQ} = (0, 1)$、$\vec{PO} = (-x, -f(x))$ である。

曲線 $y = f(x)$ の点 $P$ における接線ベクトルを $\vec{t} = (1, f'(x))$ とおく。条件より、点 $P$ における法線は $\angle OPQ$ を二等分する。接線は法線と直交するため、接線は $\vec{PQ}$ と $\vec{PO}$ のなす角の外角を二等分する。

$\vec{PQ}$ と接線ベクトル $\vec{t}$ のなす角を $\theta_1$、$\vec{PO}$ と $\vec{t}$ のなす角を $\theta_2$ とすると、方向を考慮して $\cos \theta_1 = - \cos \theta_2$ が成り立つ。したがって、内積を用いて次のように立式できる。

$$ \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{t}}{|\vec{PQ}||\vec{t}|} = - \frac{\vec{PO} \cdot \vec{t}}{|\vec{PO}||\vec{t}|} $$

それぞれの成分を代入すると、以下のようになる。

$$ \frac{1 \cdot f'(x)}{1 \cdot \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}} = - \frac{-x - f(x)f'(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}} $$

両辺の分母にある $\sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}$ を払い、整理する。

$$ f'(x) = \frac{x + f(x)f'(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} $$

$$ f'(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} = x + f(x)f'(x) $$

これが求める微分方程式である。

(2)

(1) で得た方程式の両辺を $x$ で微分する。左辺の微分は積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$$ (左辺)' = f''(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} + f'(x) \cdot \frac{2x + 2f(x)f'(x)}{2\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} $$

$$ (左辺)' = f''(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} + f'(x) \frac{x + f(x)f'(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} $$

ここで、(1) の式より $\frac{x + f(x)f'(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} = f'(x)$ であるから、これを代入する。

$$ (左辺)' = f''(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} + \{f'(x)\}^2 $$

一方で、右辺の微分は以下のようになる。

$$ (右辺)' = 1 + \{f'(x)\}^2 + f(x)f''(x) $$

これらが等しいので、

$$ f''(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} + \{f'(x)\}^2 = 1 + \{f'(x)\}^2 + f(x)f''(x) $$

$$ f''(x) \left( \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} - f(x) \right) = 1 $$

再び (1) の式 $f'(x) \left( \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} - f(x) \right) = x$ を用いる。この式の両辺に $f'(x)$ を掛けると、

$$ f''(x) f'(x) \left( \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} - f(x) \right) = f'(x) $$

$$ f''(x) \cdot x = f'(x) $$

$g(x) = f'(x)$ とおくと $g'(x) = f''(x)$ であるから、求める微分方程式は以下のようになる。

$$ x g'(x) = g(x) $$

(3)

(2) の結果から、$x \neq 0$ において以下が成り立つ。

$$ \frac{x g'(x) - g(x)}{x^2} = 0 $$

$$ \left( \frac{g(x)}{x} \right)' = 0 $$

よって、$\frac{g(x)}{x} = k$ （$k$ は定数）となり、$g(x) = kx$ と表せる。 $x=0$ のときも $0 = 0$ となり成立するため、すべての実数 $x$ で $f'(x) = kx$ である。これを積分して $f(x)$ を求める。

$$ f(x) = \frac{1}{2} k x^2 + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

$f(0) = -1$ より $C = -1$ であるから、

$$ f(x) = \frac{1}{2} k x^2 - 1 $$

これを (1) の微分方程式に代入して定数 $k$ の値を決定する。

$$ kx \sqrt{x^2 + \left( \frac{1}{2} k x^2 - 1 \right)^2} = x + \left( \frac{1}{2} k x^2 - 1 \right) kx $$

$x \neq 0$ として両辺を $x$ で割り、整理する。

$$ k \sqrt{\frac{1}{4} k^2 x^4 + (1 - k) x^2 + 1} = 1 - k + \frac{1}{2} k^2 x^2 $$

$k \neq 0$ であるため、両辺を $k$ で割る。

$$ \sqrt{\frac{1}{4} k^2 x^4 + (1 - k) x^2 + 1} = \frac{1 - k}{k} + \frac{1}{2} k x^2 $$

両辺を 2乗して係数を比較する。

$$ \frac{1}{4} k^2 x^4 + (1 - k) x^2 + 1 = \frac{1}{4} k^2 x^4 + (1 - k) x^2 + \left( \frac{1 - k}{k} \right)^2 $$

定数項を比較して、

$$ 1 = \frac{(1 - k)^2}{k^2} $$

$$ k^2 = 1 - 2k + k^2 $$

$$ 2k = 1 \iff k = \frac{1}{2} $$

$k = \frac{1}{2}$ のとき、平方根の中身は $\frac{1}{16} x^4 + \frac{1}{2} x^2 + 1 = \left( \frac{1}{4} x^2 + 1 \right)^2$ となり、条件を満たす。したがって、求める関数は以下の形に決定される。

$$ f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 1 $$

解法2

(1)

$\vec{PQ} = (0, 1)$、$\vec{PO} = (-x, -f(x))$ である。

$\vec{PQ}$ と同じ向きの単位ベクトルは $\vec{u} = (0, 1)$ であり、$\vec{PO}$ と同じ向きの単位ベクトルは $\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} (-x, -f(x))$ である。 $\angle OPQ$ の二等分線の方向ベクトルは $\vec{u} + \vec{v}$ と平行になる。

$$ \vec{u} + \vec{v} = \left( \frac{-x}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}}, 1 - \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} \right) $$

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P$ における法線ベクトル $\vec{n}$ は、接線ベクトル $\vec{t} = (1, f'(x))$ と直交するため、$\vec{n} = (-f'(x), 1)$ などととれる。これが $\vec{u} + \vec{v}$ と平行であるから、成分のたすき掛けの差が $0$ になる。

$$ \frac{-x}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} \cdot 1 - \left( 1 - \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} \right) \cdot \{-f'(x)\} = 0 $$

$$ \frac{-x}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} + f'(x) - \frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}} = 0 $$

両辺に $\sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2}$ を掛けて整理する。

$$ -x + f'(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} - f(x)f'(x) = 0 $$

$$ f'(x) \sqrt{x^2 + \{f(x)\}^2} = x + f(x)f'(x) $$

解説

「光の反射」を題材にした放物面鏡の性質を背景とする問題である。放物線の内側に平行に入射した光線は、反射して焦点を通過する。本問はこれを微分方程式として逆算する構成となっている。 (1) の微分方程式の立式では、角の二等分線であることをベクトルを用いて簡潔に数式化できるかどうかが鍵となる。「単位ベクトルの和が二等分線の方向ベクトルになる」という性質や、内積を用いた外角の処理を適切に用いると計算量を抑えられる。 (2) は (1) で得られた式をそのまま微分して整理するが、途中で (1) の関係式を再度用いて置き換える工夫が必要である。