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大阪大学 1987年理系第3問解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分し、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。指数関数部分は常に正であるため、残りの多項式部分に着目して符号変化を調べ、極大・極小を判定する。 (2) (1) の結果から点 A, B, C の座標を文字で表し、ベクトルの成分を計算する。その際、二次方程式の解と係数の関係を利用して式を簡略化する。 (3) 2つのベクトルがなす角が鈍角となるための条件は、内積が負であることである。

解法1

(1)

与えられた関数は $f(x) = (x-a)^2 e^{-x^2+b}$ である。これを $x$ について微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2(x-a)e^{-x^2+b} + (x-a)^2 e^{-x^2+b} \cdot (-2x) \\ &= 2(x-a)e^{-x^2+b} \{ 1 - x(x-a) \} \\ &= -2(x-a)(x^2 - ax - 1)e^{-x^2+b} \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ とすると、$e^{-x^2+b} > 0$ より $x = a$ または $x^2 - ax - 1 = 0$ である。

ここで $g(x) = x^2 - ax - 1$ とおくと、$g(x) = 0$ の判別式 $D$ は

$$ D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = a^2 + 4 > 0 $$

となるため、$g(x) = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。その2解を $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$) とおく。解の公式より

$$ x_1 = \frac{a - \sqrt{a^2+4}}{2}, \quad x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2+4}}{2} $$

である。また、$g(a) = a^2 - a^2 - 1 = -1 < 0$ であり、$y = g(x)$ のグラフが下に凸の放物線であることから、$x_1 < a < x_2$ が成り立つ。

これをもとに $f'(x)$ の符号変化を調べると、以下の増減表が得られる。

$x$	$\cdots$	$x_1$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$x_2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = x_1, x_2$ で極大値、$x = a$ で極小値をとることがわかる。題意より、極大値をとる $x$ が $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)、極小値をとる $x$ が $\gamma$ であるから

$$ \alpha = \frac{a - \sqrt{a^2+4}}{2}, \quad \beta = \frac{a + \sqrt{a^2+4}}{2}, \quad \gamma = a $$

(2)

(1) より、点 C の $x$ 座標は $\gamma = a$ であり、その $y$ 座標は

$$ f(a) = (a-a)^2 e^{-a^2+b} = 0 $$

となるため、C は $(a, 0)$ である。

次に、$\alpha, \beta$ は方程式 $x^2 - ax - 1 = 0$ の2解であるから、解と係数の関係より

$$ \alpha + \beta = a, \quad \alpha\beta = -1 $$

が成り立つ。これより $\alpha - a = -\beta$ および $\beta - a = -\alpha$ である。点 A の $y$ 座標 $f(\alpha)$ を計算すると

$$ \begin{aligned} f(\alpha) &= (\alpha - a)^2 e^{-\alpha^2+b} \\ &= (-\beta)^2 e^{-\alpha^2+b} \\ &= \beta^2 e^{-\alpha^2+b} \end{aligned} $$

同様に、点 B の $y$ 座標 $f(\beta)$ は

$$ \begin{aligned} f(\beta) &= (\beta - a)^2 e^{-\beta^2+b} \\ &= (-\alpha)^2 e^{-\beta^2+b} \\ &= \alpha^2 e^{-\beta^2+b} \end{aligned} $$

したがって、ベクトル $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}$ は成分を用いて次のように表される。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= (\alpha - a, f(\alpha)) = (-\beta, \beta^2 e^{-\alpha^2+b}) \\ \overrightarrow{CB} &= (\beta - a, f(\beta)) = (-\alpha, \alpha^2 e^{-\beta^2+b}) \end{aligned} $$

これより、求める内積は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= (-\beta) \cdot (-\alpha) + (\beta^2 e^{-\alpha^2+b}) \cdot (\alpha^2 e^{-\beta^2+b}) \\ &= \alpha\beta + (\alpha\beta)^2 e^{-(\alpha^2+\beta^2)+2b} \end{aligned} $$

ここで、$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2 - 2(-1) = a^2+2$ である。これと $\alpha\beta = -1$ を代入して

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= -1 + (-1)^2 e^{-(a^2+2)+2b} \\ &= e^{-a^2+2b-2} - 1 \end{aligned} $$

(3)

$\angle ACB$ が鈍角となるための条件は

$$ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} < 0 $$

である。

$$ e^{-a^2+2b-2} - 1 < 0 $$

$$ e^{-a^2+2b-2} < e^0 $$

底の $e$ は $1$ より大きいため、指数部分を比較して

$$ -a^2+2b-2 < 0 $$

これを $b$ について解くと

$$ b < \frac{a^2}{2} + 1 $$

解説

微分の基本的な計算と、そこから得られた極値の条件をベクトルに帰着させる融合問題である。 (1) では導関数の式から直ちに極値をとる $x$ を特定できないが、指数関数が常に正であることを利用して2次関数に帰着させるのが定石である。 (2) はそのまま座標を代入して計算すると式が非常に複雑になる。二次方程式の解であることを利用し、解と係数の関係を用いて次数や形を揃えることで、見通しよく計算を進めることができる。 (3) はベクトルの内積と角の条件を結びつける基本的な考え方が問われている。念のため平行条件の除外に言及するとより確実な答案となる。