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大阪大学 1989年理系第4問解説

方針・初手

三角形の面積 $S_1(t)$ と、曲線と直線で囲まれた面積 $S_2(t)$ をそれぞれ $t$ の式で表し、その後に極限を計算するというのが大筋の解答方針である。

$S_1(t)$ については、関数 $f(x) = x^a \log x$ の導関数から $x=t$ における接線の方程式を求め、$x$ 軸との交点 $Q$ の座標を特定することで底辺の長さを得る。 $S_2(t)$ については、対数関数と整関数の積の積分であるため、部分積分法を用いて計算を行う。最後に、求められた $S_1(t)$ と $S_2(t)$ の比の極限を計算する際は、発散のスピードを比較して不定形を解消する。

解法1

$f(x) = x^a \log x$ とおく。

$f(x)$ を $x$ で微分すると、積の微分法より以下のようになる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (x^a)' \log x + x^a (\log x)' \\ &= a x^{a-1} \log x + x^a \cdot \frac{1}{x} \\ &= x^{a-1}(a \log x + 1) \end{aligned} $$

点 $P(t, t^a \log t)$ における接線の方程式は、傾きが $f'(t)$ であることから次のように表される。

$$ y - t^a \log t = t^{a-1}(a \log t + 1)(x - t) $$

この接線と $x$ 軸との交点 $Q$ の $x$ 座標を求めるため、$y = 0$ を代入する。

$$ -t^a \log t = t^{a-1}(a \log t + 1)(x - t) $$

$t > 1$、$a > 0$ より $t^{a-1}(a \log t + 1) > 0$ であるから、両辺をこれで割ることができる。

$$ x - t = -\frac{t \log t}{a \log t + 1} $$

点 $R$ の座標は $(t, 0)$ であるため、底辺 $QR$ の長さは $|x - t|$ に等しい。$x - t < 0$ であることに注意すると、以下のようになる。

$$ QR = t - x = \frac{t \log t}{a \log t + 1} $$

三角形 $PQR$ は底辺を $QR$ とすると、高さは点 $P$ の $y$ 座標 $t^a \log t$ となる。したがって、面積 $S_1(t)$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} S_1(t) &= \frac{1}{2} \cdot QR \cdot (t^a \log t) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{t \log t}{a \log t + 1} \cdot t^a \log t \\ &= \frac{t^{a+1}(\log t)^2}{2(a \log t + 1)} \end{aligned} $$

次に、$S_2(t)$ を求める。曲線 $y = x^a \log x$ は $x \ge 1$ において $y \ge 0$ であるから、求める面積は定積分で計算できる。部分積分法を用いる。

$$ \begin{aligned} S_2(t) &= \int_{1}^{t} x^a \log x \, dx \\ &= \int_{1}^{t} \left( \frac{x^{a+1}}{a+1} \right)' \log x \, dx \\ &= \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \log x \right]_{1}^{t} - \int_{1}^{t} \frac{x^{a+1}}{a+1} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= \frac{t^{a+1}}{a+1} \log t - \frac{1}{a+1} \int_{1}^{t} x^a \, dx \\ &= \frac{t^{a+1}}{a+1} \log t - \frac{1}{a+1} \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_{1}^{t} \\ &= \frac{t^{a+1}}{a+1} \log t - \frac{t^{a+1}}{(a+1)^2} + \frac{1}{(a+1)^2} \end{aligned} $$

最後に、$\lim_{t \to +\infty} \frac{S_2(t)}{S_1(t)}$ を計算する。求めた $S_1(t)$ と $S_2(t)$ の式を代入する。

$$ \frac{S_2(t)}{S_1(t)} = \frac{ \frac{t^{a+1}}{a+1} \log t - \frac{t^{a+1}}{(a+1)^2} + \frac{1}{(a+1)^2} }{ \frac{t^{a+1}(\log t)^2}{2(a \log t + 1)} } $$

分母分子を $t^{a+1} \log t$ で割ることで、不定形を解消しやすく整理する。

$$ \begin{aligned} \frac{S_2(t)}{S_1(t)} &= \frac{ \frac{1}{a+1} - \frac{1}{(a+1)^2 \log t} + \frac{1}{t^{a+1}(a+1)^2 \log t} }{ \frac{\log t}{2(a \log t + 1)} } \\ &= \frac{ \frac{1}{a+1} - \frac{1}{(a+1)^2 \log t} + \frac{1}{t^{a+1}(a+1)^2 \log t} }{ \frac{1}{2(a + \frac{1}{\log t})} } \end{aligned} $$

$t \to +\infty$ のとき、$\log t \to +\infty$ であり、$a > 0$ より $t^{a+1} \to +\infty$ である。したがって、以下の極限が成り立つ。

$$ \frac{1}{\log t} \to 0, \quad \frac{1}{t^{a+1} \log t} \to 0 $$

これらを用いると、極限値は次のように計算できる。

$$ \lim_{t \to +\infty} \frac{S_2(t)}{S_1(t)} = \frac{ \frac{1}{a+1} - 0 + 0 }{ \frac{1}{2(a + 0)} } = \frac{ \frac{1}{a+1} }{ \frac{1}{2a} } = \frac{2a}{a+1} $$

解説

数学IIIの微分積分における標準的な計算問題である。接線の方程式の導出、部分積分を用いた定積分、そして極限の計算という一連の処理が問われている。極限の計算では、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形となるため、分母分子を最も発散のスピードが速い $t^{a+1}$ と $\log t$ を用いて適切に割り算し、収束する形を作り出すことがポイントである。途中計算で分数や文字が入り乱れるため、計算ミスに気をつけて確実に処理を進めたい。