東京大学 1989年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた2つの曲線は、直線 $y = x$ に関して対称な形をしている。交点の座標 $(\alpha, \beta)$ をそれぞれの式に代入し、連立方程式として扱う。式の対称性を活かし、2式の和と差をとって因数分解することで、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めるのが基本方針である。

解法1

条件より、$(\alpha, \beta)$ は与えられた2曲線の交点であるから、以下の連立方程式を満たす。

$$ \begin{cases} \beta = k(\alpha - \alpha^3) & \cdots \text{(1)} \\ \alpha = k(\beta - \beta^3) & \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

(1) から (2) を引いて整理する。

$$ \beta - \alpha = k(\alpha - \beta) - k(\alpha^3 - \beta^3) $$

$$ -(\alpha - \beta) = k(\alpha - \beta) - k(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) $$

$$ (\alpha - \beta) \{ k(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) - k - 1 \} = 0 $$

条件より $\alpha \neq \beta$ であるから $\alpha - \beta \neq 0$ であり、また $k > 0$ より $k \neq 0$ であるため、次式を得る。

$$ \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = 1 + \frac{1}{k} \quad \cdots \text{(3)} $$

次に、(1) と (2) を足して整理する。

$$ \alpha + \beta = k(\alpha + \beta) - k(\alpha^3 + \beta^3) $$

$$ \alpha + \beta = k(\alpha + \beta) - k(\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) $$

$$ (\alpha + \beta) \{ k(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) - k + 1 \} = 0 $$

交点は第1象限にあるため $\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であり、$\alpha + \beta > 0$ である。よって次式を得る。

$$ \alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 = 1 - \frac{1}{k} \quad \cdots \text{(4)} $$

(3) と (4) より、辺々の差をとると、

$$ 2\alpha\beta = \frac{2}{k} \iff \alpha\beta = \frac{1}{k} $$

また、(3) と (4) の辺々の和をとると、

$$ 2(\alpha^2 + \beta^2) = 2 \iff \alpha^2 + \beta^2 = 1 $$

ここから $\alpha + \beta$ を求める。$\alpha + \beta > 0$ であるから、

$$ \alpha + \beta = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta} = \sqrt{1 + \frac{2}{k}} $$

したがって、$\alpha$ と $\beta$ は、$t$ についての2次方程式

$$ t^2 - \left(\sqrt{1 + \frac{2}{k}}\right)t + \frac{1}{k} = 0 \quad \cdots \text{(5)} $$

の2解となる。 逆に、方程式 (5) が相異なる正の2実数解をもつとき、それらを $\alpha, \beta$ とすれば $\alpha^2 + \beta^2 = 1$ かつ $\alpha\beta = \frac{1}{k}$ を満たし、これらは元の連立方程式を満たす交点を与える。

(5) が相異なる正の2実数解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると、

(i)

$D > 0$ であること。

$$ D = \left( -\sqrt{1 + \frac{2}{k}} \right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{k} = 1 + \frac{2}{k} - \frac{4}{k} = 1 - \frac{2}{k} > 0 $$

$k > 0$ であるから、両辺に $k$ をかけて整理すると、

$$ k - 2 > 0 \iff k > 2 $$

（ii） 解の和と積がともに正であること。

解と係数の関係より、和は $\sqrt{1 + \frac{2}{k}}$、積は $\frac{1}{k}$ である。$k > 0$ のもとでこれらは常に正となるため、条件を満たす。

以上より、求める $k$ の範囲は $k > 2$ である。

解法2

交点 $(\alpha, \beta)$ は第1象限の点であるから、極座標を用いて $\alpha = r \cos \theta, \beta = r \sin \theta$ （$r > 0, 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$）とおくことができる。 また $\alpha \neq \beta$ より $\theta \neq \frac{\pi}{4}$ である。

与えられた連立方程式に代入すると、

$$ \begin{cases} r \sin \theta = k(r \cos \theta - r^3 \cos^3 \theta) \\ r \cos \theta = k(r \sin \theta - r^3 \sin^3 \theta) \end{cases} $$

$r > 0$ で両辺を割って整理すると、

$$ \begin{cases} \sin \theta = k \cos \theta (1 - r^2 \cos^2 \theta) & \cdots \text{(1)} \\ \cos \theta = k \sin \theta (1 - r^2 \sin^2 \theta) & \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

(1) の両辺に $\sin \theta$ を、(2) の両辺に $\cos \theta$ をかけると、

$$ \begin{cases} \sin^2 \theta = k \sin \theta \cos \theta (1 - r^2 \cos^2 \theta) \\ \cos^2 \theta = k \sin \theta \cos \theta (1 - r^2 \sin^2 \theta) \end{cases} $$

上の2式の辺々の差をとると、

$$ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = k \sin \theta \cos \theta \cdot r^2 (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) $$

$\theta \neq \frac{\pi}{4}$ より $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta \neq 0$ であるから、両辺を割って次式を得る。

$$ 1 = k r^2 \sin \theta \cos \theta \quad \cdots \text{(3)} $$

同様に、上の2式の辺々の和をとると、

$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = k \sin \theta \cos \theta \{ 2 - r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \} $$

$$ 1 = k \sin \theta \cos \theta (2 - r^2) \quad \cdots \text{(4)} $$

(4) に (3) を代入すると、

$$ 1 = 2k \sin \theta \cos \theta - k r^2 \sin \theta \cos \theta $$

$$ 1 = k \sin 2\theta - 1 $$

$$ \sin 2\theta = \frac{2}{k} $$

ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\theta \neq \frac{\pi}{4}$ より、$2\theta$ のとり得る範囲は $0 < 2\theta < \pi$ かつ $2\theta \neq \frac{\pi}{2}$ である。 この範囲において $\sin 2\theta$ は $0 < \sin 2\theta < 1$ を満たすから、

$$ 0 < \frac{2}{k} < 1 $$

$k > 0$ より、各辺に $k$ をかけて整理すると、

$$ k > 2 $$

なおこのとき、$\sin 2\theta = \frac{2}{k}$ を $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{k}$ と変形して (3) に代入すれば $r^2 = 1$ となり、$r > 0$ を満たす $r = 1$ が確かに存在する。

解説

連立方程式の $x$ と $y$ を入れ替えると互いに入れ替わる形（対称式）であることに着目し、和と差の形を作り出すアプローチが定石である。解法1はそれに忠実に従った代数的な解法であり、式変形の基本力が問われる。一方で、曲線の形が円や三角関数と親和性が高いため、解法2のように極座標を導入する発想も非常に有効であり、計算が見やすく美しくまとまる。

答え

$$ k > 2 $$