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大阪大学 1994年理系第4問解説

方針・初手

(1) は関数の増減を調べる定石通り、差をとって微分し、最小値が $0$ 以上になることを示す。 (2) は (1) で示した不等式と、交点が単位円上にあることから得られる $q_n$ の範囲を利用し、はさみうちの原理を用いて $p_n$ の極限を求める。 (3) は $p_n \to 0$ と円の方程式から $q_n$ の極限を求め、曲線の方程式から $np_n$ を $q_n$ の式で表して極限を計算する。 (4) は面積の定義に従って積分計算を行い、極限値が求まる形に式を変形して (3) の結果を代入する。

解法1

(1)

$f(x) = e^{nx} - 1 - nx$ とおく。これを $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = n e^{nx} - n = n(e^{nx} - 1) $$

$x \geqq 0$ のとき、$nx \geqq 0$ であり、$e^{nx} \geqq e^0 = 1$ となるため、$f'(x) \geqq 0$ が成り立つ。よって、$f(x)$ は $x \geqq 0$ において単調に増加する。

$x \geqq 0$ のとき、

$$ f(x) \geqq f(0) = e^0 - 1 - 0 = 0 $$

したがって、$x \geqq 0$ のとき $e^{nx} - 1 \geqq nx$ が成り立つ。

(2)

点 $(p_n, q_n)$ は第1象限における交点であるから、$p_n > 0$ かつ $q_n > 0$ である。点 $(p_n, q_n)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるため、

$$ p_n^2 + q_n^2 = 1 $$

$p_n > 0$ より $p_n^2 > 0$ であるから、$q_n^2 = 1 - p_n^2 < 1$ となり、$q_n > 0$ と合わせて $0 < q_n < 1$ がわかる。

また、点 $(p_n, q_n)$ は曲線 $y = e^{nx} - 1$ 上にあるため、

$$ q_n = e^{n p_n} - 1 $$

$p_n > 0$ より、(1) で証明した不等式において $x = p_n$ とすることができ、

$$ e^{n p_n} - 1 \geqq n p_n $$

すなわち、

$$ q_n \geqq n p_n $$

が成り立つ。$n > 0$ であるから、両辺を $n$ で割ると、

$$ p_n \leqq \frac{q_n}{n} $$

$0 < q_n < 1$ であることと合わせて、以下の不等式を得る。

$$ 0 < p_n < \frac{1}{n} $$

ここで、

$$ \lim_{n \to \infty} 0 = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

であるから、はさみうちの原理により、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = 0 $$

が成り立つ。

(3)

点 $(p_n, q_n)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあり、$q_n > 0$ であるから、

$$ q_n = \sqrt{1 - p_n^2} $$

(2) の結果より $\lim_{n \to \infty} p_n = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} q_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 - p_n^2} = \sqrt{1 - 0} = 1 $$

また、$q_n = e^{n p_n} - 1$ より、

$$ e^{n p_n} = 1 + q_n $$

両辺は正であるから自然対数をとると、

$$ n p_n = \log(1 + q_n) $$

$\lim_{n \to \infty} q_n = 1$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} n p_n = \lim_{n \to \infty} \log(1 + q_n) = \log(1 + 1) = \log 2 $$

(4)

長方形の面積 $S_n$ は、

$$ S_n = p_n q_n $$

図形の面積 $T_n$ は、

$$ T_n = \int_{0}^{p_n} (e^{nx} - 1) dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{n} e^{nx} - x \right]_{0}^{p_n} $$

$$ = \frac{e^{n p_n} - 1}{n} - p_n $$

ここで、$q_n = e^{n p_n} - 1$ であるから、

$$ T_n = \frac{q_n}{n} - p_n $$

したがって、求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{q_n}{n} - p_n}{p_n q_n} $$

$$ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{q_n}{n p_n q_n} - \frac{p_n}{p_n q_n} \right) $$

$$ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n p_n} - \frac{1}{q_n} \right) $$

(3) の結果より、$\lim_{n \to \infty} n p_n = \log 2$、$\lim_{n \to \infty} q_n = 1$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} = \frac{1}{\log 2} - \frac{1}{1} = \frac{1}{\log 2} - 1 $$

解説

不等式評価を用いて極限を求める、微分積分と極限の融合問題の標準的な形式である。(1) で誘導された不等式を用いて (2) ではさみうちの原理を利用する流れは、入試数学における典型的な手法である。交点 $(p_n, q_n)$ が円と曲線の両方に乗っていることから生じる連立方程式を巧みに使い分け、必要な極限を順次求めていく構成になっている。(4) では、計算結果に (3) で求めた $np_n$ や $q_n$ の塊をうまく作り出す式変形がポイントとなる。