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大阪大学 1994年理系第3問解説

方針・初手

(1)は与えられた媒介変数表示から、三角関数の加法定理を用いて $x, y, z$ の関係式を導く。具体的には、$\cos t$ を消去して $x, y, z$ の一次方程式を作ることで平面の方程式を得る。
(2)は点と平面の距離の公式を用いて、距離を $\theta$（または $\cos\theta$ ）の関数として表す。その後は微分を用いて関数の最大値を求める。

解法1

(1)

与えられた $x(t), y(t)$ の式に加法定理を用いると、

$$ \begin{aligned} x &= \sin t \cos \alpha + \cos t \sin \alpha \\ y &= \sin t \cos \beta + \cos t \sin \beta \end{aligned} $$

となる。ここで $z = \sin t$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} x &= z \cos \alpha + \cos t \sin \alpha \\ y &= z \cos \beta + \cos t \sin \beta \end{aligned} $$

これを変形し、

$$ \begin{aligned} x - z \cos \alpha &= \cos t \sin \alpha \quad \cdots \text{①} \\ y - z \cos \beta &= \cos t \sin \beta \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$

① $\times \sin \beta -$ ② $\times \sin \alpha$ を計算し、$\cos t$ を消去する。

$$ (x - z \cos \alpha) \sin \beta - (y - z \cos \beta) \sin \alpha = 0 $$

展開して整理すると、

$$ (\sin \beta) x - (\sin \alpha) y - (\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta) z = 0 $$

ふたたび加法定理を用いると、$\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta = \sin(\beta - \alpha)$ となるため、

$$ (\sin \beta) x - (\sin \alpha) y - \sin(\beta - \alpha) z = 0 $$

これは $x, y, z$ の一次方程式であり、定数項が $0$ であるから、曲線は原点を通る平面に含まれることが示された。求める平面の方程式は、

$$ (\sin \beta) x - (\sin \alpha) y - \sin(\beta - \alpha) z = 0 $$

(2)

$\alpha = \theta, \beta = 2\theta$ とすると、(1) で求めた平面の方程式は

$$ \sin(2\theta) x - (\sin \theta) y - \sin(2\theta - \theta) z = 0 $$

すなわち

$$ 2 \sin \theta \cos \theta x - (\sin \theta) y - (\sin \theta) z = 0 $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta \neq 0$ であるから、両辺を $\sin \theta$ で割ると、

$$ 2 \cos \theta x - y - z = 0 $$

この平面と点 $(-1, 2, 0)$ との距離を $d(\theta)$ とすると、点と平面の距離の公式より

$$ d(\theta) = \frac{|2 \cos \theta \cdot (-1) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{(2 \cos \theta)^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 \cos \theta - 2|}{\sqrt{4 \cos^2 \theta + 2}} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $\cos \theta > 0$ より、$-2 \cos \theta - 2 < 0$ であるから絶対値を外し、整理する。

$$ d(\theta) = \frac{2(\cos \theta + 1)}{\sqrt{4 \cos^2 \theta + 2}} $$

ここで $u = \cos \theta$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < u < 1$ である。距離の2乗を $f(u)$ とすると、

$$ f(u) = \{d(\theta)\}^2 = \frac{4(u + 1)^2}{4u^2 + 2} = \frac{2(u^2 + 2u + 1)}{2u^2 + 1} $$

$f(u)$ を $u$ について微分する。商の微分法より、

$$ \begin{aligned} f'(u) &= \frac{2(2u + 2)(2u^2 + 1) - 2(u^2 + 2u + 1) \cdot 4u}{(2u^2 + 1)^2} \\ &= \frac{2}{(2u^2 + 1)^2} \left\{ (2u + 2)(2u^2 + 1) - 4u(u^2 + 2u + 1) \right\} \\ &= \frac{2}{(2u^2 + 1)^2} \left( 4u^3 + 2u + 4u^2 + 2 - 4u^3 - 8u^2 - 4u \right) \\ &= \frac{2}{(2u^2 + 1)^2} \left( -4u^2 - 2u + 2 \right) \\ &= \frac{-4(2u^2 + u - 1)}{(2u^2 + 1)^2} \\ &= \frac{-4(2u - 1)(u + 1)}{(2u^2 + 1)^2} \end{aligned} $$

$0 < u < 1$ において $f'(u) = 0$ となるのは $u = \frac{1}{2}$ のときである。これより増減を考えると、$0 < u < \frac{1}{2}$ において $f'(u) > 0$、$\frac{1}{2} < u < 1$ において $f'(u) < 0$ となる。

したがって、$f(u)$ は $u = \frac{1}{2}$ のとき最大値をとる。その値は、

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \right)}{2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \frac{2\left( \frac{1}{4} + 2 \right)}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = 3 $$

距離 $d(\theta) > 0$ であるから、$d(\theta)$ は $f(u)$ が最大のときに最大となり、その最大値は $\sqrt{3}$ である。

解説

空間曲線の媒介変数表示において、$x, y, z$ の間に成り立つ関係式（特に一次方程式）を見つけることで、曲線が含まれる平面を特定する典型問題である。
(1) で加法定理を用いて $\sin t, \cos t$ を分離することがポイントである。
(2) では、点と平面の距離の公式を正しく適用し、得られた式を1変数の関数に帰着させる。無理関数を直接微分してもよいが、正の値をとるため2乗した関数を微分することで計算の負担を減らすことができる。