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大阪大学 2007年理系第2問解説

方針・初手

(1)は、絶対値を含む不等式の証明である。$x$ の範囲（$x>1$、$0<x<1$、$x=1$）によって絶対値の外れ方が変わるため、場合分けをして微積を用いた関数の増減を調べる。 (2)は、条件付きの2次式の不等式証明である。コーシー・シュワルツの不等式や、実数の2乗が0以上であることを利用して下限を求める。 (3)は、複雑な対称（巡回）式の不等式証明であるが、前問までの結果を利用する典型的な誘導問題である。(1)の不等式において $x = \frac{b}{a}$ などを代入して各項を評価し、和をとった後に(2)の結果を適用する。

解法1

(1)

$x$ が正の数であるから、以下の3つの場合に分ける。

(i)

$x>1$ のとき

$\log x > 0$ かつ $x-1 > 0$ であるから、示すべき不等式は

$$ \log x \leqq \frac{x-1}{\sqrt{x}} $$

となる。ここで、$f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x}} - \log x = x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} - \log x$ とおく。これを微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{x} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \\ &= \frac{x + 1 - 2\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}} \\ &= \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2x\sqrt{x}} \end{aligned} $$

$x>1$ において $f'(x) > 0$ であり、$f(x)$ は単調に増加する。$f(1) = 0$ であるから、$x>1$ において $f(x) > 0$ が成り立つ。よって示された。

(ii)

$0<x<1$ のとき

$\log x < 0$ かつ $x-1 < 0$ であるから、示すべき不等式は

$$ -\log x \leqq \frac{-(x-1)}{\sqrt{x}} $$

すなわち

$$ \log x \geqq \frac{x-1}{\sqrt{x}} $$

となる。（i）と同様に $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x}} - \log x$ とおくと、$f'(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2x\sqrt{x}}$ である。 $0<x<1$ において $f'(x) > 0$ であり、$f(x)$ は単調に増加する。$f(1) = 0$ であるから、$0<x<1$ において $f(x) < 0$ が成り立つ。よって $\log x > \frac{x-1}{\sqrt{x}}$ となり示された。

(iii)

$x=1$ のとき

左辺は $|\log 1| = 0$、右辺は $\frac{|1-1|}{\sqrt{1}} = 0$ となり、両辺が等しく成立する。

以上（i）, （ii）, （iii）より、$x$ が正の数のとき与式は成立する。

(2)

コーシー・シュワルツの不等式より、任意の正の数 $p, q, r$ について以下が成り立つ。

$$ (1^2 + 1^2 + 1^2)(p^2 + q^2 + r^2) \geqq (1\cdot p + 1\cdot q + 1\cdot r)^2 $$

条件 $p+q+r=1$ を代入して整理すると、

$$ 3(p^2 + q^2 + r^2) \geqq 1^2 = 1 $$

両辺を $3$ で割ることで、

$$ p^2 + q^2 + r^2 \geqq \frac{1}{3} $$

が示された。

(3)

(1)で示した不等式 $|\log x| \leqq \frac{|x-1|}{\sqrt{x}}$ において、$x = \frac{b}{a}$ を代入する。$a, b$ は相異なる正の数であるから $x>0$ かつ $x \neq 1$ を満たす。

$$ \left|\log \frac{b}{a}\right| \leqq \frac{\left|\frac{b}{a}-1\right|}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = \frac{|b-a|}{a} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{|b-a|}{\sqrt{ab}} $$

両辺に $\frac{ab}{|b-a|} (>0)$ を掛けると、

$$ \frac{ab}{|b-a|} \left|\log \frac{b}{a}\right| \leqq \sqrt{ab} $$

ここで、左辺の絶対値を外すことを考える。 $b>a$ のとき、$b-a>0$ かつ $\log \frac{b}{a} > 0$ であるから $\frac{ab}{|b-a|} \left|\log \frac{b}{a}\right| = \frac{ab}{b-a} \log \frac{b}{a}$ となる。 $b<a$ のとき、$b-a<0$ かつ $\log \frac{b}{a} < 0$ であるから $\frac{ab}{|b-a|} \left|\log \frac{b}{a}\right| = \frac{ab}{-(b-a)} \left(-\log \frac{b}{a}\right) = \frac{ab}{b-a} \log \frac{b}{a}$ となる。いずれの場合も、以下の不等式が成り立つ。

$$ \frac{ab}{b-a} \log \frac{b}{a} \leqq \sqrt{ab} $$

同様にして、$b, c$ および $c, a$ についても以下の不等式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \frac{bc}{c-b} \log \frac{c}{b} &\leqq \sqrt{bc} \\ \frac{ca}{a-c} \log \frac{a}{c} &\leqq \sqrt{ca} \end{aligned} $$

これら3つの式を辺々足し合わせると、

$$ \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a} + \frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b} + \frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c} \leqq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} $$

次に、右辺の $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$ を評価する。条件 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$ の両辺を2乗すると、

$$ a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 1 $$

$$ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} = \frac{1 - (a+b+c)}{2} $$

ここで、$a, b, c$ は正の数であるから、$p=\sqrt{a}, q=\sqrt{b}, r=\sqrt{c}$ とおくと、$p+q+r=1$ を満たす正の数となる。(2)の結果を用いると、

$$ p^2 + q^2 + r^2 = a+b+c \geqq \frac{1}{3} $$

が成り立つ。これを代入すると、

$$ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \leqq \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{3} $$

以上より、

$$ \frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a} + \frac{bc}{c-b}\log\frac{c}{b} + \frac{ca}{a-c}\log\frac{a}{c} \leqq \frac{1}{3} $$

が示された。

解法2

(2)の別解

任意の実数についてその2乗は0以上であるから、

$$ \left(p-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(q-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(r-\frac{1}{3}\right)^2 \geqq 0 $$

が成り立つ。左辺を展開すると、

$$ \left(p^2 - \frac{2}{3}p + \frac{1}{9}\right) + \left(q^2 - \frac{2}{3}q + \frac{1}{9}\right) + \left(r^2 - \frac{2}{3}r + \frac{1}{9}\right) \geqq 0 $$

整理すると、

$$ p^2 + q^2 + r^2 - \frac{2}{3}(p+q+r) + \frac{3}{9} \geqq 0 $$

条件 $p+q+r=1$ を代入すると、

$$ p^2 + q^2 + r^2 - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \geqq 0 $$

$$ p^2 + q^2 + r^2 \geqq \frac{1}{3} $$

が示された。

解説

不等式の証明における標準的な手法と、前の設問を誘導として利用する構成力が問われる問題である。 (1)は差をとって微分し、増減を調べる定石の処理である。絶対値が含まれるため、中身の正負によって場合分けを怠らないようにしる。 (2)の $x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3}(x+y+z)^2$ という形は有名不等式であり、コーシー・シュワルツの不等式や恒等式の展開（解法2）から容易に導ける。 (3)は式が複雑に見えるが、各項が巡回的になっていることに着目し、1つの項 $\frac{ab}{b-a}\log\frac{b}{a}$ を(1)を用いて評価するのが急所である。変数変換 $x = \frac{b}{a}$ に気づくことができれば、あとは(2)の形に帰着させるだけで自然に結論が得られる。