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大阪大学 1985年理系第4問解説

方針・初手

（1）については、$f(x) = x(x^2 - 10x + k)$ と因数分解できるため、$f(x) = 0$ は $x = 0$ を解にもつ。残りの解は2次方程式 $x^2 - 10x + k = 0$ の解となるので、この2次方程式の解の配置問題として処理する。

（2）については、3次関数のグラフと $x$ 軸で囲まれる面積を定積分を用いて表す。被積分関数や積分区間にパラメータ $k$ が含まれるため、直接計算すると煩雑になる。高次式の次数下げを利用して計算を簡略化するか、積分区間の端点が変数であることに着目して $k$ についての微分（合成関数の微分法）を用いるとよい。

解法1

(1)

$f(x) = x(x^2 - 10x + k)$ より、方程式 $f(x) = 0$ が3個の実数解をもつ条件は、2次方程式 $x^2 - 10x + k = 0 \cdots (*)$ が $0$ でない異なる2つの実数解をもつことである。 $(*)$ の判別式を $D$ とすると、実数解をもつための条件は $D/4 = 25 - k > 0$ より $k < 25$ である。また、$x=0$ を解にもたないため $k \neq 0$ となるが、問題文より $k>0$ であるから、この条件は満たされている。

$(*)$ の2つの解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。解と係数の関係より

$$ \alpha + \beta = 10, \quad \alpha\beta = k > 0 $$

したがって $0 < \alpha < \beta$ であり、3つの解は $0, \alpha, \beta$ となる。これらが互いに $1$ 以上離れているための条件は、

$$ \alpha - 0 \ge 1 \quad \text{かつ} \quad \beta - \alpha \ge 1 $$

である。（これらが成り立てば、$\beta - 0 \ge 2 > 1$ も自明に成り立つ。）

$\alpha \ge 1$ について考える。 $g(x) = x^2 - 10x + k$ とおくと、$y = g(x)$ の軸は $x=5$ であり、$\alpha < 5$ である。 $\alpha \ge 1$ となるのは、$x \le 5$ の範囲において $g(1) \ge 0$ となるときである。

$$ g(1) = 1 - 10 + k = k - 9 \ge 0 \implies k \ge 9 $$

$\beta - \alpha \ge 1$ について考える。両辺が正であるから、平方して $(\beta - \alpha)^2 \ge 1$ と同値である。

$$ \begin{aligned} (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta &\ge 1 \\ 100 - 4k &\ge 1 \\ 4k &\le 99 \\ k &\le \frac{99}{4} \end{aligned} $$

以上より、求める条件は

$$ 9 \le k \le \frac{99}{4} $$

(2)

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $0, \alpha, \beta$ である。 $0 \le x \le \alpha$ において $f(x) \ge 0$、$\alpha \le x \le \beta$ において $f(x) \le 0$ であるから、囲まれる図形の面積 $S$ は

$$ S = \int_0^\alpha f(x) dx - \int_\alpha^\beta f(x) dx $$

となる。

$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + \frac{k}{2}x^2$ とおくと、

$$ S = F(\alpha) - F(0) - \{ F(\beta) - F(\alpha) \} = 2F(\alpha) - F(\beta) $$

である。ここで、$x = \alpha, \beta$ は $x^2 - 10x + k = 0$ の解であるから、$x^2 = 10x - k$ が成り立つ。これを用いて $F(x)$ を次数下げする。

$$ \begin{aligned} x^3 &= 10x^2 - kx = 10(10x - k) - kx = (100-k)x - 10k \\ x^4 &= 10x^3 - kx^2 = 10\{ (100-k)x - 10k \} - k(10x - k) = (1000-20k)x + k^2 - 100k \end{aligned} $$

これらを $F(x)$ に代入して整理すると、

$$ \begin{aligned} F(x) &= \frac{1}{4} \{ (1000-20k)x + k^2 - 100k \} - \frac{10}{3} \{ (100-k)x - 10k \} + \frac{k}{2} (10x - k) \\ &= \left( 250 - 5k - \frac{1000}{3} + \frac{10k}{3} + 5k \right)x + \frac{k^2 - 100k}{4} + \frac{100k}{3} - \frac{k^2}{2} \\ &= \frac{10k - 250}{3} x + \frac{-3k^2 + 100k}{12} \\ &= \frac{1}{12} \{ (40k - 1000)x - 3k^2 + 100k \} \end{aligned} $$

したがって、$S$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= 2F(\alpha) - F(\beta) \\ &= \frac{1}{12} \{ (40k - 1000)(2\alpha - \beta) - 3k^2 + 100k \} \end{aligned} $$

解の公式より $\alpha = 5 - \sqrt{25-k}, \beta = 5 + \sqrt{25-k}$ である。 $u = \sqrt{25-k}$ とおくと、$u > 0$ であり $k = 25 - u^2$ となる。 $\alpha = 5 - u, \beta = 5 + u$ より、$2\alpha - \beta = 2(5 - u) - (5 + u) = 5 - 3u$ である。また、式の一部を $u$ で表すと、

$$ \begin{aligned} 40k - 1000 &= 40(25 - u^2) - 1000 = -40u^2 \\ -3k^2 + 100k &= -k(3k - 100) = -(25 - u^2) \{ 3(25 - u^2) - 100 \} \\ &= -(25 - u^2)(-3u^2 - 25) = (25 - u^2)(3u^2 + 25) \\ &= -3u^4 + 50u^2 + 625 \end{aligned} $$

これらを $S$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} S(u) &= \frac{1}{12} \{ -40u^2(5 - 3u) - 3u^4 + 50u^2 + 625 \} \\ &= \frac{1}{12} ( -3u^4 + 120u^3 - 150u^2 + 625 ) \end{aligned} $$

（1）の条件 $9 \le k \le \frac{99}{4}$ より、$\frac{1}{4} \le 25-k \le 16$ であるから、$\frac{1}{2} \le u \le 4$ である。 $S(u)$ を $u$ で微分すると、

$$ S'(u) = \frac{1}{12} ( -12u^3 + 360u^2 - 300u ) = -u(u^2 - 30u + 25) $$

$S'(u) = 0$ とすると、$u>0$ より $u^2 - 30u + 25 = 0$ となり、$u = 15 \pm 10\sqrt{2}$ を得る。ここで $\sqrt{2} \approx 1.414$ より $10\sqrt{2} \approx 14.14$ であるため、$u = 15 - 10\sqrt{2} \approx 0.86$ は区間 $\frac{1}{2} \le u \le 4$ に含まれる。 $\frac{1}{2} \le u < 15 - 10\sqrt{2}$ のとき $S'(u) < 0$、$15 - 10\sqrt{2} < u \le 4$ のとき $S'(u) > 0$ となるため、$S(u)$ は $u = 15 - 10\sqrt{2}$ で極小かつ最小となる。このときの $k$ の値は、

$$ \begin{aligned} k &= 25 - u^2 \\ &= 25 - (15 - 10\sqrt{2})^2 \\ &= 25 - (225 - 300\sqrt{2} + 200) \\ &= 300\sqrt{2} - 400 \\ &= 100(3\sqrt{2} - 4) \end{aligned} $$

解法2

(2)の別解

面積 $S$ は $k$ の関数であり、$S(k) = 2F(\alpha) - F(\beta)$ である。ここで、$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{10}{3}x^3 + \frac{k}{2}x^2$ に $x = \alpha$ を代入した $F(\alpha)$ を $k$ で微分することを考える。 $\alpha$ は $x^2 - 10x + k = 0$ の解であり、$k$ の関数であるから、合成関数の微分法を用いると

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dk} F(\alpha) &= \left( \alpha^3 - 10\alpha^2 + k\alpha \right) \frac{d\alpha}{dk} + \frac{1}{2}\alpha^2 \\ &= f(\alpha) \frac{d\alpha}{dk} + \frac{1}{2}\alpha^2 \end{aligned} $$

$f(\alpha) = 0$ であるから、

$$ \frac{d}{dk} F(\alpha) = \frac{1}{2}\alpha^2 $$

同様に、$\frac{d}{dk} F(\beta) = \frac{1}{2}\beta^2$ が成り立つ。したがって、$S(k)$ を $k$ で微分すると

$$ S'(k) = 2 \cdot \frac{1}{2}\alpha^2 - \frac{1}{2}\beta^2 = \alpha^2 - \frac{1}{2}\beta^2 $$

となる。

$\alpha = 5 - \sqrt{25-k}, \beta = 5 + \sqrt{25-k}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} S'(k) &= (5 - \sqrt{25-k})^2 - \frac{1}{2} (5 + \sqrt{25-k})^2 \\ &= 25 - 10\sqrt{25-k} + (25-k) - \frac{1}{2} \{ 25 + 10\sqrt{25-k} + (25-k) \} \\ &= 50 - k - 10\sqrt{25-k} - \frac{1}{2} (50 - k + 10\sqrt{25-k}) \\ &= 25 - \frac{1}{2}k - 15\sqrt{25-k} \end{aligned} $$

$S'(k) = 0$ とすると、

$$ 25 - \frac{1}{2}k = 15\sqrt{25-k} $$

（1）の条件 $9 \le k \le \frac{99}{4}$ より、左辺は $25 - \frac{1}{2}k \ge 25 - \frac{99}{8} > 0$ であるから、両辺を2乗して同値性を保つことができる。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} (50 - k)^2 &= 225(25 - k) \\ k^2 - 100k + 2500 &= 22500 - 900k \\ k^2 + 800k - 20000 &= 0 \end{aligned} $$

解の公式より、$k = -400 \pm \sqrt{160000 + 20000} = -400 \pm 300\sqrt{2}$ を得る。 $k>0$ より $k = 300\sqrt{2} - 400 = 100(3\sqrt{2} - 4)$ である。$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $k \approx 24.2$ であり、（1）の範囲に含まれる。

$u = \sqrt{25-k}$ とおくと、$u$ は $k$ に対して単調に減少する。 $S'(k) = \frac{1}{2}(u^2 - 30u + 25)$ と表せるため、$k$ の増加に伴って $u$ が減少するとき、$S'(k)$ の符号は負から正へと変化する。したがって、$S(k)$ は $k = 100(3\sqrt{2} - 4)$ のとき最小となる。

解説

（1）は定数 $k$ を含む2次方程式の解の配置問題の定石に従う。「異なる2つの実数解をもつ」「条件を満たす範囲に解が存在する」という条件を、判別式、軸の位置、端点における関数値の符号に帰着させて解く。

（2）は面積の計算においていかに工夫をするかが問われている。解法1のように「方程式の解であることを利用して次数を下げる」方法は、高次式の計算において非常に有効である。また、解法2のように「積分区間が変数を含む定積分を、その変数で微分する」という手法は、数IIIの合成関数の微分法を用いることで厳密に証明でき、計算量を劇的に削減できる強力な武器となる。