トップ› 東北大学› 2018年› 理系第6問

東北大学 2018年理系第6問解説

方針・初手

領域 (S) は

[ x+y^2\le 2,\qquad x+y\ge 0,\qquad x-y\le 2 ]

で与えられている。

これを

[ x\le 2-y^2,\qquad x\ge -y,\qquad x\le y+2 ]

と見て、(y) を固定した横向きの短冊で考える。

回転軸は

[ y=-x ]

すなわち

[ x+y=0 ]

である。

解法1

まず境界を確認する。

放物線

[ x=2-y^2 ]

と直線

[ x=-y ]

の交点は

[ 2-y^2=-y ]

より

[ y^2-y-2=0 ]

したがって

[ y=-1,\ 2 ]

である。交点は

[ (1,-1),\quad (-2,2) ]

である。

また、放物線

[ x=2-y^2 ]

と直線

[ x=y+2 ]

の交点は

[ 2-y^2=y+2 ]

より

[ y(y+1)=0 ]

したがって

[ y=0,\ -1 ]

である。交点は

[ (2,0),\quad (1,-1) ]

である。

さらに、2直線

[ x=-y,\qquad x=y+2 ]

の交点は

[ -y=y+2 ]

より

[ y=-1,\qquad x=1 ]

である。

よって領域 (S) は、頂点

[ (1,-1),\quad (2,0),\quad (-2,2) ]

をもつ、放物線と2本の直線で囲まれた領域である。

次に体積を求める。

(-1\le y\le 0) の範囲では、横向きの短冊は

[ -y\le x\le y+2 ]

である。したがって短冊の長さは

[ L_1(y)=(y+2)-(-y)=2y+2 ]

である。

(0\le y\le 2) の範囲では、横向きの短冊は

[ -y\le x\le 2-y^2 ]

である。したがって短冊の長さは

[ L_2(y)=(2-y^2)-(-y)=2+y-y^2 ]

である。

ここで、回転軸 (x+y=0) は各短冊の左端を通る。横向きの短冊の長さを (L)、厚さを (dy) とすると、その重心から回転軸までの距離は

[ \frac{L}{2\sqrt2} ]

である。

したがって、この短冊を回転してできる微小体積は

[ 2\pi\cdot \frac{L}{2\sqrt2}\cdot L,dy =\frac{\pi}{\sqrt2}L^2,dy ]

である。

よって求める体積 (V) は

[ V=\frac{\pi}{\sqrt2} \left{ \int_{-1}^{0} (2y+2)^2,dy +\int_{0}^{2} (2+y-y^2)^2,dy \right} ]

である。

まず

[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} (2y+2)^2,dy &=4\int_{-1}^{0} (y+1)^2,dy\ &=4\left[\frac{(y+1)^3}{3}\right]_{-1}^{0}\ &=\frac43 \end{aligned} ]

である。

次に

[ 2+y-y^2=-(y-2)(y+1) ]

だから

[ \begin{aligned} \int_{0}^{2} (2+y-y^2)^2,dy &=\int_{0}^{2} (y^2-y-2)^2,dy\ &=\int_{0}^{2} (y^4-2y^3-3y^2+4y+4),dy\ &=\left[\frac{y^5}{5}-\frac{y^4}{2}-y^3+2y^2+4y\right]_{0}^{2}\ &=\frac{32}{5} \end{aligned} ]

である。

したがって

[ \begin{aligned} V &=\frac{\pi}{\sqrt2}\left(\frac43+\frac{32}{5}\right)\ &=\frac{\pi}{\sqrt2}\cdot \frac{116}{15}\ &=\frac{58\sqrt2\pi}{15} \end{aligned} ]

である。