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東京工業大学 1973年理系第5問解説

方針・初手

曲線と座標軸との交点を求めて積分区間を決定し、$x$ 軸のまわりの回転体の体積 $V_x$ および $y$ 軸のまわりの回転体の体積 $V_y$ をそれぞれ計算する。そのうえで、$V_x = V_y$ の関係式から $ab$ の値を求める。

解法1

曲線 $y=(ax-b)^2$ と $y$ 軸との交点は、$x=0$ を代入して $y=b^2$ である。また、$x$ 軸との交点は、$y=0$ を代入して $(ax-b)^2=0$ より $x=\frac{b}{a}$ である。

$a>0, b>0$ より $\frac{b}{a}>0, b^2>0$ であるから、曲線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた領域は $0 \leqq x \leqq \frac{b}{a}$、$0 \leqq y \leqq (ax-b)^2$ を満たす部分である。

この領域を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V_x$ とすると、

$$ V_x = \pi \int_{0}^{\frac{b}{a}} y^2 \,dx = \pi \int_{0}^{\frac{b}{a}} (ax-b)^4 \,dx $$

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} V_x &= \pi \left[ \frac{1}{5a} (ax-b)^5 \right]_{0}^{\frac{b}{a}} \\ &= \pi \left( 0 - \frac{1}{5a}(-b)^5 \right) \\ &= \frac{\pi b^5}{5a} \end{aligned} $$

となる。

次に、$y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V_y$ とする。領域を $y$ 軸方向に積分して体積を求めるために、$y=(ax-b)^2$ を $x$ について解く。 $0 \leqq x \leqq \frac{b}{a}$ の範囲では $ax-b \leqq 0$ であるから、

$$ ax-b = -\sqrt{y} $$

$$ x = \frac{b-\sqrt{y}}{a} $$

となる。したがって、

$$ V_y = \pi \int_{0}^{b^2} x^2 \,dy = \pi \int_{0}^{b^2} \left( \frac{b-\sqrt{y}}{a} \right)^2 \,dy $$

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} V_y &= \frac{\pi}{a^2} \int_{0}^{b^2} (b^2 - 2b\sqrt{y} + y) \,dy \\ &= \frac{\pi}{a^2} \left[ b^2 y - \frac{4b}{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} y^2 \right]_{0}^{b^2} \\ &= \frac{\pi}{a^2} \left( b^4 - \frac{4}{3}b^4 + \frac{1}{2}b^4 \right) \\ &= \frac{\pi}{a^2} \cdot \frac{6-8+3}{6} b^4 \\ &= \frac{\pi b^4}{6a^2} \end{aligned} $$

となる。

条件より $V_x = V_y$ であるから、

$$ \frac{\pi b^5}{5a} = \frac{\pi b^4}{6a^2} $$

$a>0, b>0$ であるから、両辺に $\frac{a^2}{\pi b^4}$ を掛けて整理すると、

$$ \frac{ab}{5} = \frac{1}{6} $$

$$ ab = \frac{5}{6} $$

したがって、積 $ab$ は一定の値 $\frac{5}{6}$ をとることが示された。

解法2

$V_y$ の計算において、円筒殻法（バウムクーヘン積分）を用いる。

領域を $y$ 軸のまわりに回転させた体積 $V_y$ は、

$$ V_y = 2\pi \int_{0}^{\frac{b}{a}} x y \,dx = 2\pi \int_{0}^{\frac{b}{a}} x (ax-b)^2 \,dx $$

で求められる。被積分関数を展開すると、

$$ x (ax-b)^2 = x(a^2 x^2 - 2ab x + b^2) = a^2 x^3 - 2ab x^2 + b^2 x $$

これを積分すると、

$$ \begin{aligned} V_y &= 2\pi \int_{0}^{\frac{b}{a}} (a^2 x^3 - 2ab x^2 + b^2 x) \,dx \\ &= 2\pi \left[ \frac{a^2}{4} x^4 - \frac{2ab}{3} x^3 + \frac{b^2}{2} x^2 \right]_{0}^{\frac{b}{a}} \\ &= 2\pi \left( \frac{a^2}{4} \cdot \frac{b^4}{a^4} - \frac{2ab}{3} \cdot \frac{b^3}{a^3} + \frac{b^2}{2} \cdot \frac{b^2}{a^2} \right) \\ &= 2\pi \left( \frac{b^4}{4a^2} - \frac{2b^4}{3a^2} + \frac{b^4}{2a^2} \right) \\ &= \frac{2\pi b^4}{a^2} \left( \frac{3-8+6}{12} \right) \\ &= \frac{\pi b^4}{6a^2} \end{aligned} $$

となる。

$V_x$ の計算および以降の議論は解法1と同様である。

解説

回転体の体積を計算する標準的な問題である。$y$ 軸まわりの回転体 $V_y$ の計算においては、$x$ について解き直して $y$ で積分する円板法（解法1）と、$x$ のまま積分する円筒殻法（解法2）のいずれも有効である。計算量に大きな差はないが、円筒殻法に慣れておくと $x$ について解く手間を省けるため、時間短縮に繋がる場合が多い。