大阪大学 2020年 理系 第4問 解説

方針・初手

$t \to \infty$ での極限を考えるため、$t$ が十分に大きい（$t > 2$）場合について領域を図示して面積 $S(t)$ を立式する。 直線と双曲線で囲まれた面積を求める際、領域全体を積分区間に分けるよりも、大きな直角二等辺三角形から条件を満たさない「はみ出た」部分を引く工夫をすると計算が容易になる。 得られた $S(t)$ の式を用いて極限を計算する。無理式の差は分子の有理化、対数の差は真数の割り算にまとめるという、極限計算の定石を用いる。

解法1

極限 $\lim_{t \to \infty}$ を考えるため、$t > 2$ としてよい。

直線 $y = -x + t$ と双曲線 $y = \frac{1}{x}$ （$x > 0$）の交点の $x$ 座標は、方程式 $x + \frac{1}{x} = t$ すなわち $x^2 - tx + 1 = 0$ の実数解である。

この2次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、解の公式より以下のようになる。

$$ \alpha = \frac{t - \sqrt{t^2 - 4}}{2}, \quad \beta = \frac{t + \sqrt{t^2 - 4}}{2} $$

また、解と係数の関係から、$\alpha + \beta = t$、$ \alpha \beta = 1$ が成り立つ。

連立不等式の表す領域は、直線 $x=0, y=0, x+y=t$ で囲まれる直角二等辺三角形から、区間 $\alpha \le x \le \beta$ において直線 $y = -x + t$ と双曲線 $y = \frac{1}{x}$ で囲まれた部分を除いた領域となる。

したがって、面積 $S(t)$ は次のように立式できる。

$$ S(t) = \frac{1}{2}t^2 - \int_{\alpha}^{\beta} \left( (-x + t) - \frac{1}{x} \right) dx $$

右辺の積分を計算する。まず、多項式部分の積分は以下のようになる。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} (-x + t) dx = \left[ -\frac{1}{2}x^2 + tx \right]_{\alpha}^{\beta} = -\frac{1}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + t(\beta - \alpha) $$

ここで、$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = t(\beta - \alpha)$ であるから、次のように整理できる。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} (-x + t) dx = -\frac{1}{2}t(\beta - \alpha) + t(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}t(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}t\sqrt{t^2 - 4} $$

次に、分数関数の積分を計算する。$\alpha \beta = 1$ より $\log \alpha = -\log \beta$ となることを用いる。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{x} dx = \left[ \log x \right]_{\alpha}^{\beta} = \log \beta - \log \alpha = 2\log \beta $$

これらを $S(t)$ の式に代入して、以下の式を得る。

$$ S(t) = \frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{2}t\sqrt{t^2 - 4} + 2\log \beta $$

求める極限の式に代入して整理する。

$$ S(t) - 2\log t = \frac{1}{2}t(t - \sqrt{t^2 - 4}) + 2\log \beta - 2\log t $$

第1項について、分子の有理化を行うと以下のようになる。

$$ \frac{1}{2}t(t - \sqrt{t^2 - 4}) = \frac{1}{2}t \cdot \frac{t^2 - (t^2 - 4)}{t + \sqrt{t^2 - 4}} = \frac{2t}{t + \sqrt{t^2 - 4}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{t^2}}} $$

$t \to \infty$ のとき $\frac{4}{t^2} \to 0$ であるから、この項は次のように収束する。

$$ \lim_{t \to \infty} \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{t^2}}} = \frac{2}{1 + 1} = 1 $$

第2項について、対数の性質を用いてまとめる。

$$ 2\log \beta - 2\log t = 2\log \left( \frac{\beta}{t} \right) = 2\log \left( \frac{t + \sqrt{t^2 - 4}}{2t} \right) = 2\log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{t^2}}}{2} \right) $$

$t \to \infty$ のとき、この項は次のように収束する。

$$ \lim_{t \to \infty} 2\log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \frac{4}{t^2}}}{2} \right) = 2\log \left( \frac{1 + 1}{2} \right) = 2\log 1 = 0 $$

以上より、求める極限は以下の通りとなる。

$$ \lim_{t \to \infty} (S(t) - 2\log t) = 1 + 0 = 1 $$

解説

面積 $S(t)$ の立式と、極限計算の2つのステップからなる問題である。 面積計算においては、積分区間を $0 \le x \le \alpha$、$\alpha \le x \le \beta$、$\beta \le x \le t$ の3つに分割して真面目に足し合わせてもよいが、全体から不要な部分を引く「引き算の面積」を考えると計算量が減り、計算ミスを防ぎやすくなる。 極限計算では、$\infty - \infty$ の不定形が現れる。多項式と平方根が混ざった無理式の差については「分子の有理化（逆有理化）」を、対数の差については $\log A - \log B = \log \frac{A}{B}$ という真数の割り算への変形を行うという、極限計算における定石の解法を選択することが重要である。

答え

$$ 1 $$