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大阪大学 2020年理系第5問解説

方針・初手

三角形の3辺の長さを文字で表し、ヘロンの公式を用いて面積を求める。面積から回転体の底面の半径となる高さを計算し、体積 $V$ を $a, b$ の式で表す。 $V$ は2変数の関数となるため、(1)の誘導に従い、まず $a$ を定数とみなして $b$ の2次関数として最大値を求め、(2)で $a$ を動かして全体の最大値を求めるという「1文字固定法（予選決勝法）」を用いる。

解法1

辺 $\text{BC} = a$、辺 $\text{CA} = b$、辺 $\text{AB} = c$ とする。 3辺の長さの和が 2 であるから、$c = 2-a-b$ である。三角形が成立するための条件は、$a>0$、$b>0$、$c>0$ かつ三角不等式が成り立つことである。

$$ \begin{cases} a+b > 2-a-b \\ b+(2-a-b) > a \\ (2-a-b)+a > b \end{cases} $$

これを解くと、次のように $a, b$ のとりうる値の範囲（定義域）が求まる。

$$ \begin{cases} a+b > 1 \\ a < 1 \\ b < 1 \end{cases} $$

三角形ABCの面積を $S$ とする。ヘロンの公式より、$s = \frac{a+b+c}{2} = 1$ であるから、

$$ \begin{aligned} S^2 &= s(s-a)(s-b)(s-c) \\ &= 1 \cdot (1-a) \cdot (1-b) \cdot (1-(2-a-b)) \\ &= (1-a)(1-b)(a+b-1) \end{aligned} $$

三角形ABCの頂点Aから直線BCに下ろした垂線の長さを $h$ とすると、$S = \frac{1}{2}ah$ より $h = \frac{2S}{a}$ となる。

$$ h^2 = \frac{4S^2}{a^2} = \frac{4(1-a)(1-b)(a+b-1)}{a^2} $$

三角形ABCを辺BCを軸として1回転させてできる回転体は、底面の半径が $h$ であり、高さの和（または差）が $a$ となる2つの円錐を合わせたもの（または大きな円錐から小さな円錐をくり抜いたもの）である。したがって、垂線の足の位置にかかわらず、その体積 $V$ は次のように表される。

$$ V = \frac{1}{3} \pi h^2 a = \frac{4\pi(1-a)}{3a}(1-b)(a+b-1) $$

(1)

$a$ の値を固定し、$V$ を $b$ の関数とみなして平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} (1-b)(a+b-1) &= -b^2 + (2-a)b + a - 1 \\ &= - \left( b - \frac{2-a}{2} \right)^2 + \frac{(2-a)^2}{4} + a - 1 \\ &= - \left( b - 1 + \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{a^2}{4} \end{aligned} $$

ここで、三角形の成立条件より $1-a < b < 1$ であり、$0 < a < 1$ であるから、軸 $b = 1 - \frac{a}{2}$ はこの区間内に存在する。よって、$V$ は $b = 1 - \frac{a}{2}$ のとき最大となる。このとき、辺ABの長さ $c$ は次のように計算できる。

$$ c = 2 - a - b = 2 - a - \left( 1 - \frac{a}{2} \right) = 1 - \frac{a}{2} $$

したがって $c = b$、すなわち $\text{AB} = \text{CA}$ が成り立つ。以上より、$V$ が最大になるのは、三角形ABCが辺BCを底辺とする二等辺三角形になるときであることが示された。

(2)

(1)より、$a$ を固定したときの $V$ の最大値は、

$$ V = \frac{4\pi(1-a)}{3a} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{\pi}{3}a(1-a) $$

である。これを改めて $a$ の関数とみなし、$0 < a < 1$ の範囲で最大値を求める。

$$ V = -\frac{\pi}{3} ( a^2 - a ) = -\frac{\pi}{3} \left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{\pi}{12} $$

区間 $0 < a < 1$ において、$V$ は $a = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{\pi}{12}$ をとる。このとき、(1)の条件より $b$ の値は、

$$ b = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$

となる。

解説

2変数の最大・最小問題の定石である「予選決勝法（1文字固定法）」を素直に適用する問題である。(1)が(2)の丁寧な誘導になっている。ヘロンの公式を用いることで、回転体の半径となる高さを $a, b$ の対称性を保ったまま簡単に表すことができる。また、頂点Aから直線BCに下ろした垂線の足が線分BCの内分点になるか外分点になるかによって図の形状は変わるが、どちらの場合でも体積の式が $\frac{1}{3}\pi h^2 a$ となることは確認しておきたい。