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東北大学 1986年理系第4問解説

方針・初手

取り除く部分の体積を最小にするには，回転体の内部に入る直方体の体積を最大にすればよい。

この回転体は，だ円 $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ を $x$ 軸のまわりに回転してできるので，$x=\text{一定}$ による断面は半径 $$ b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} $$ の円である。

したがって，$x$ 軸方向の長さを $2t$ とする直方体を考えると，その両端 $x=\pm t$ の断面円に内接する長方形のうち面積最大のものをとればよく，これは正方形になる。

解法1

回転体を $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}\le 1 $$ で表す。

$x$ 軸と直交する 2 つの面をもつ直方体をこの回転体に内接させる。対称性から，その 2 面は $$ x=\pm t \qquad (0\le t\le a) $$ にあるとしてよい。

このとき，$x=\pm t$ における断面は半径 $$ r=b\sqrt{1-\frac{t^2}{a^2}} $$ の円である。

直方体の各 $yz$ 断面はこの円の内部に入らなければならない。円に内接する長方形のうち面積最大のものは正方形であり，その一辺を $s$ とすると $$ \left(\frac{s}{2}\right)^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2=r^2 $$ より $$ s=\sqrt{2},r $$ である。したがって底面積は $$ s^2=2r^2=2b^2\left(1-\frac{t^2}{a^2}\right) $$ となる。

よって，この直方体の体積 $V(t)$ は $$ V(t)=2t\cdot 2b^2\left(1-\frac{t^2}{a^2}\right) =4b^2t\left(1-\frac{t^2}{a^2}\right) $$ である。

これを最大にすればよいから，微分すると $$ V'(t)=4b^2\left(1-\frac{3t^2}{a^2}\right) $$ となる。

したがって $$ V'(t)=0 $$ より $$ t=\frac{a}{\sqrt{3}} $$ で最大となる。

このとき直方体の最大体積は $$ V_{\max} =4b^2\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3}\right) =4b^2\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3} =\frac{8ab^2}{3\sqrt{3}} $$ である。

一方，もとの回転体の体積は，長半径 $a$，短半径 $b$ の回転楕円体であるから $$ \frac{4}{3}\pi ab^2 $$ である。

したがって，取り除く部分の体積の最小値は $$ \frac{4}{3}\pi ab^2-\frac{8ab^2}{3\sqrt{3}} =\frac{4ab^2}{3}\left(\pi-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) $$ となる。