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東京工業大学 2016年理系第1問解説

方針・初手

(1) は点 $P$ の座標を変数 $t$ でおき、$P$ と $Q$ の距離の2乗を $t$ の関数として立式し、その最小値を調べる。微分の利用、あるいは代数的な変形が有効である。

(2) は円外の点と円上の点の距離の最小値に関する定石に従う。「$P$ を固定したときの $R$ までの距離の最小値」を考えた後、$P$ を動かして全体の最小値を求める。$PQ$ の最小値と円の半径の大小関係で場合分けが生じる。

解法1

(1)

放物線 $C_1$ 上の点 $P$ を $\left(t, \frac{t^2}{4}\right)$ とおく。

点 $Q\left(2a, \frac{a^2}{4}-2\right)$ との距離の2乗 $PQ^2$ を $f(t)$ とすると、

$$ f(t) = (t-2a)^2 + \left\{ \frac{t^2}{4} - \left( \frac{a^2}{4}-2 \right) \right\}^2 $$

$$ f(t) = (t-2a)^2 + \frac{1}{16} (t^2-a^2+8)^2 $$

$f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(t) &= 2(t-2a) + \frac{1}{16} \cdot 2(t^2-a^2+8) \cdot 2t \\ &= 2t - 4a + \frac{1}{4}(t^3 - a^2t + 8t) \\ &= \frac{1}{4} \left( t^3 + (16-a^2)t - 16a \right) \end{aligned} $$

括弧内の多項式に $t=a$ を代入すると $a^3 + 16a - a^3 - 16a = 0$ となるため、因数定理により $t-a$ を因数にもつ。

$$ f'(t) = \frac{1}{4}(t-a)(t^2+at+16) $$

ここで $g(t) = t^2+at+16$ とおく。$g(t)=0$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2-64$ である。

(i) $0 < a < 8$ のとき

$D < 0$ より、すべての実数 $t$ に対して $g(t) > 0$ である。

したがって、$f'(t)$ の符号は $t-a$ の符号と一致し、$t=a$ の前後で負から正へと変化する。

よって $f(t)$ は $t=a$ で極小かつ最小となる。

(ii) $a \ge 8$ のとき

$D \ge 0$ より、$g(t) = 0$ は実数解をもつ。これを $\alpha, \beta$ ($\alpha \le \beta$) とする。

解と係数の関係より $\alpha + \beta = -a < 0$, $\alpha\beta = 16 > 0$ であるから、$\alpha, \beta$ はともに負である。

ゆえに $\alpha \le \beta < 0 < a$ となる。

$f(t)$ の増減表を書くと、$t=\alpha, a$ の2箇所で極小値をとる。

ここで、絶対最小値を調べるために $f(t)$ と $f(a)$ の大小を比較する。

$f(a) = (a-2a)^2 + \frac{1}{16}(a^2-a^2+8)^2 = a^2 + 4$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(t) - f(a) &= (t-2a)^2 + \frac{1}{16}(t^2-a^2+8)^2 - (a^2+4) \\ &= t^2 - 4at + 4a^2 + \frac{1}{16}(t^4 - 2(a^2-8)t^2 + (a^2-8)^2) - a^2 - 4 \\ &= \frac{1}{16} \left( 16t^2 - 64at + 48a^2 - 64 + t^4 - 2a^2t^2 + 16t^2 + a^4 - 16a^2 + 64 \right) \\ &= \frac{1}{16} \left( t^4 + 2(16-a^2)t^2 - 64at + a^4 + 32a^2 \right) \end{aligned} $$

$f'(t)$ が $t-a$ を因数にもつことから、上の式は $(t-a)^2$ で割り切れる。実際に変形すると、

$$ \begin{aligned} f(t) - f(a) &= \frac{1}{16} (t-a)^2 (t^2 + 2at + a^2 + 32) \\ &= \frac{1}{16} (t-a)^2 \left\{ (t+a)^2 + 32 \right\} \end{aligned} $$

すべての実数 $t$ に対して $(t-a)^2 \ge 0$ かつ $(t+a)^2+32 > 0$ であるから、$f(t) - f(a) \ge 0$ となる。

したがって、極小値 $f(\alpha)$ においても $f(\alpha) \ge f(a)$ が成り立つ。

（i）, （ii）いずれの場合も、すべての実数 $t$ について $f(t) \ge f(a) = a^2+4$ が成り立ち、等号は $t=a$ のときのみ成立する。

よって、求める距離の最小値は $\sqrt{a^2+4}$ である。

(2)

円 $C_2$ は点 $Q$ を中心とする半径 $r = \sqrt{2}a$ の円である。

点 $P$ を固定したとき、点 $R$ が円 $C_2$ 上を動くときの $PR$ の長さについて考える。

3点 $P, Q, R$ に対して三角不等式より $PR + RQ \ge PQ$ が成り立つ。$RQ = r$ であるから、

$$ PR \ge PQ - r $$

等号は、点 $R$ が線分 $PQ$（点 $P$ が円の外部にあるとき）上に存在するときに成立する。

また $PR \ge 0$ であるから、点 $P$ が円の内部にある場合も含めると、$PR$ の最小値は $\max(PQ - r, 0)$ となる。

(1)より、$PQ$ の最小値は $\sqrt{a^2+4}$ であり、点 $P$ が $C_1$ 上を動くとき、$PQ$ は $\sqrt{a^2+4}$ 以上のすべての実数値を取り得る。

したがって、$PQ$ の最小値 $\sqrt{a^2+4}$ と半径 $r = \sqrt{2}a$ の大小によって場合分けを行う。

(i) $\sqrt{a^2+4} > \sqrt{2}a$ のとき

両辺を2乗して $a^2+4 > 2a^2$ より $a^2 < 4$。$a > 0$ より $0 < a < 2$ である。

このとき、すべての点 $P$ に対して $PQ \ge \sqrt{a^2+4} > \sqrt{2}a$ が成り立つため、$P$ は常に円 $C_2$ の外部にある。

したがって、$PR \ge PQ - \sqrt{2}a$ であり、$PR$ が最小となるのは $PQ$ が最小となるときである。

よって $PR$ の最小値は $\sqrt{a^2+4} - \sqrt{2}a$。

(ii) $\sqrt{a^2+4} \le \sqrt{2}a$ のとき

両辺を2乗して $a \ge 2$ である。

このとき、$PQ$ のとり得る値の範囲は $\sqrt{a^2+4}$ 以上であり、$\sqrt{a^2+4} \le \sqrt{2}a$ であるから、連続的に変化する $PQ$ は $PQ = \sqrt{2}a$ となる瞬間をもつ。

すなわち、$PQ = \sqrt{2}a$ となる点 $P$ が $C_1$ 上に存在する。

このとき点 $P$ は円 $C_2$ 上にあり、点 $R$ として点 $P$ と同じ位置を選べば $PR = 0$ となる。

距離は負にならないため、これが最小値である。

解法2

(1)の別解

点 $P\left(t, \frac{t^2}{4}\right)$ と点 $Q\left(2a, \frac{a^2}{4}-2\right)$ の距離の2乗 $PQ^2$ を $f(t)$ とすると、

$$ f(t) = (t-2a)^2 + \frac{1}{16} (t^2-a^2+8)^2 $$

$t=a$ のときの値は $f(a) = (-a)^2 + \frac{1}{16}(8)^2 = a^2 + 4$ である。

任意の $t$ における $f(t)$ と $f(a)$ の差を計算し、常に $0$ 以上となることを代数的に示す。

$$ \begin{aligned} f(t) - (a^2+4) &= t^2 - 4at + 4a^2 + \frac{1}{16} \left( t^4 - 2(a^2-8)t^2 + (a^2-8)^2 \right) - a^2 - 4 \\ &= \frac{1}{16} \left\{ 16t^2 - 64at + 48a^2 - 64 + t^4 - 2a^2t^2 + 16t^2 + a^4 - 16a^2 + 64 \right\} \\ &= \frac{1}{16} \left\{ t^4 + (32-2a^2)t^2 - 64at + a^4 + 32a^2 \right\} \end{aligned} $$

この多項式は $t=a$ で最小値 $0$ をとることが予想されるため、$(t-a)^2$ を因数にもつはずである。

$(t-a)^2 = t^2 - 2at + a^2$ を用いて式を変形すると、

$$ \begin{aligned} t^4 + (32-2a^2)t^2 - 64at + a^4 + 32a^2 &= (t^2-2at+a^2)(t^2+2at+a^2+32) \\ &= (t-a)^2 \left\{ (t+a)^2 + 32 \right\} \end{aligned} $$

と因数分解できる。

ここで、すべての実数 $t, a$ について $(t-a)^2 \ge 0$ かつ $(t+a)^2+32 > 0$ であるから、

$$ f(t) - (a^2+4) \ge 0 $$

が常に成り立つ。

等号は $(t-a)^2 = 0$、すなわち $t=a$ のときに成立する。

以上より、$f(t)$ の最小値は $a^2+4$ であり、$PQ$ の最小値は $\sqrt{a^2+4}$ である。

解説

(1) では、2点間の距離の2乗を微分して最小値を求めるのがオーソドックスな解法だが、導関数 $f'(t)=0$ が $t=a$ 以外の解をもつ場合（$a \ge 8$ のとき）に、極小値の大小比較が必要となる点で少し厄介である。解答のように恒等式の変形（平方完成）に帰着させることで、微分の煩雑な増減表を使わずにスッキリと最小性を示すことができる。

(2) は「点と円上の点の距離の最大・最小」という頻出テーマである。中心 $Q$ との距離 $PQ$ に注目し、$PQ$ と半径の大小関係で場合分けすることがポイントである。$a \ge 2$ のときは放物線と円が交わる（または一方が他方の内部を通過する）ため、距離の最小値が 0 になることに注意したい。