大阪大学 2022年 理系 第3問 解説

方針・初手

線分 $PQ$ 上の点が満たすべき条件を数式で表し、その条件を満たす実数 $t$ が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に存在するような点 $(x, y)$ の集合を求める。 線分 $PQ$ は第1象限（軸上の境界を含む）にあるため、$x \geqq 0, y \geqq 0$ の条件が前提となる。軌跡・領域の問題における定石である「逆像法（解の配置）」または「順像法（ファクシミリの原理）」を用いる。

解法1

点 $(x, y)$ が線分 $PQ$ 上にある条件を考える。 $P(0, t)$、$Q\left(\frac{1}{t}, 0\right)$ を結ぶ直線の方程式は、

$$ \frac{x}{\frac{1}{t}} + \frac{y}{t} = 1 \iff tx + \frac{y}{t} = 1 $$

である。この直線上の点のうち、線分 $PQ$ 上にあるものは、両端点の座標から $x \geqq 0, y \geqq 0$ を満たす部分である（$x \geqq 0, y \geqq 0$ と $tx + \frac{y}{t} = 1$ を満たせば、自動的に $0 \leqq x \leqq \frac{1}{t}, 0 \leqq y \leqq t$ となるため、線分上の点と同値になる）。

よって、点 $(x, y)$ が求める通過領域に含まれる条件は、$x \geqq 0$ かつ $y \geqq 0$ であり、かつ $t$ についての方程式

$$ xt^2 - t + y = 0 $$

が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。

(i)

$x = 0$ のとき

方程式は $-t + y = 0$ すなわち $t = y$ となる。 $1 \leqq t \leqq 2$ より、$1 \leqq y \leqq 2$ である。 これは $x \geqq 0, y \geqq 0$ を満たす。

(ii)

$x > 0$ のとき

$f(t) = xt^2 - t + y$ とおく。 $y \geqq 0$ を前提として、$f(t) = 0$ が $1 \leqq t \leqq 2$ に解をもつ条件を求める。 条件は、以下の（ア）または（イ）が成り立つことである。

(ア)

$1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に実数解を1つだけもつ（重解を含まない）

区間の両端における $f(t)$ の値の符号が異なる、または一方が $0$ になればよいので、

$$ f(1)f(2) \leqq 0 $$

$$ (x + y - 1)(4x + y - 2) \leqq 0 $$

$x > 0, y \geqq 0$ より、これは直線 $y = -x + 1$ と $y = -4x + 2$ に挟まれた領域を表す。

(イ)

$1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に実数解を2つ（重解を含む）もつ

$f(t) = x\left(t - \frac{1}{2x}\right)^2 - \frac{1}{4x} + y$ であるから、2次関数としての条件を考える。

判別式条件: $\frac{1}{4x} - y \geqq 0 \iff y \leqq \frac{1}{4x}$

軸の条件: $1 \leqq \frac{1}{2x} \leqq 2 \iff \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$

端点の条件: $f(1) = x - 1 + y \geqq 0 \iff y \geqq -x + 1$ かつ $f(2) = 4x - 2 + y \geqq 0 \iff y \geqq -4x + 2$

これらをすべて満たす領域である。

以上 （i）, （ii） を合わせると、求める領域は、以下の不等式を満たす $(x, y)$ の集合となる。

$$ \begin{cases} x \geqq 0, y \geqq 0 \\ (x + y - 1)(4x + y - 2) \leqq 0 \quad \text{または} \quad \left( \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{2} \text{ かつ } y \geqq -x + 1 \text{ かつ } y \geqq -4x + 2 \text{ かつ } y \leqq \frac{1}{4x} \right) \end{cases} $$

これを分かりやすく $x$ の範囲ごとに整理する。 曲線 $y = \frac{1}{4x}$ と直線 $y = -4x + 2$ は、$\frac{1}{4x} = -4x + 2 \iff (4x - 1)^2 = 0$ より、$x = \frac{1}{4}$ で接する。 同様に、曲線 $y = \frac{1}{4x}$ と直線 $y = -x + 1$ は、$\frac{1}{4x} = -x + 1 \iff (2x - 1)^2 = 0$ より、$x = \frac{1}{2}$ で接する。 また、直線 $y = -x + 1$ と $y = -4x + 2$ の交点は $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ である。

これを踏まえて領域の境界を求めると、以下のようになる。

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{4}$ では、$-x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2$

$\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ では、$-x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ では、$-4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$

$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ では、$0 \leqq y \leqq -x + 1$

解法2

$x$ を固定し、$t$ が動くときの $y$ のとりうる範囲を調べる（ファクシミリの原理）。 線分 $PQ$ の方程式は $tx + \frac{y}{t} = 1 \ (x \geqq 0, y \geqq 0)$ と表せる。これを $y$ について解くと、

$$ y = -xt^2 + t $$

となる。 線分上に点が存在するためには、$y \geqq 0$ が必要である（$x \geqq 0$ かつ $tx + \frac{y}{t} = 1$ のもとで $y \geqq 0 \iff x \leqq \frac{1}{t}$ となる）。 よって、各 $x \ (x \geqq 0)$ を固定したとき、$t$ は「$1 \leqq t \leqq 2$ かつ $t \leqq \frac{1}{x}$（$x=0$のときは上限なし）」の範囲を動く。

(i)

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき

$1 \leqq t \leqq 2$ のすべての $t$ に対して $t \leqq \frac{1}{x}$ が成り立つので、$t$ の動く範囲は $1 \leqq t \leqq 2$ である。 $g(t) = -xt^2 + t = -x\left(t - \frac{1}{2x}\right)^2 + \frac{1}{4x}$ （ただし $x=0$ のときは $g(t) = t$）の値域を考える。

• $x = 0$ のとき、$g(t)=t$ より $1 \leqq y \leqq 2$。

• $0 < x \leqq \frac{1}{4}$ のとき、軸 $t = \frac{1}{2x} \geqq 2$ となり、$g(t)$ は $1 \leqq t \leqq 2$ で単調増加する。 よって、$g(1) \leqq y \leqq g(2)$ より、$-x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2$。

• $\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ のとき、軸は $\frac{3}{2} \leqq \frac{1}{2x} \leqq 2$ となり、区間の右寄りにある。 最大値は頂点で $\frac{1}{4x}$、最小値は $g(1) \leqq g(2)$ より $g(1) = -x + 1$ である。 よって、$-x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$。

• $\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき、軸は $1 \leqq \frac{1}{2x} \leqq \frac{3}{2}$ となり、区間の左寄りにある。 最大値は頂点で $\frac{1}{4x}$、最小値は $g(2) \leqq g(1)$ より $g(2) = -4x + 2$ である。 よって、$-4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$。

(ii)

$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき

$t$ の動く範囲は $1 \leqq t \leqq \frac{1}{x}$ である。 このとき、軸 $t = \frac{1}{2x} \leqq 1$ となるため、$g(t)$ は区間 $1 \leqq t \leqq \frac{1}{x}$ で単調減少する。

最大値は $g(1) = -x + 1$。 最小値は $g\left(\frac{1}{x}\right) = -x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$。

よって、$0 \leqq y \leqq -x + 1$。

(iii)

$x > 1$ のとき

$1 \leqq t \leqq \frac{1}{x}$ を満たす $t$ は存在しないため、通過しない。

以上より、解法1と同じ領域が得られる。

解説

軌跡・領域問題の王道である「逆像法（解の配置）」と「順像法（ファクシミリの原理）」のどちらでも解ける標準的な問題である。 注意すべき点は、直線全体ではなく「線分」であることだ。これにより、点 $(x, y)$ が第1象限（境界含む）に存在するという条件が加わり、領域が制限される。 逆像法では、$f(1)f(2) \leqq 0$ の処理で場合分けを減らす工夫ができると計算がスムーズになる。順像法では、各 $x$ に対して $t$ の動く範囲が $x$ によって制限される点（$t \leqq \frac{1}{x}$）を見落とさないように注意が必要である。

答え

求める領域は、以下の不等式で表される $(x, y)$ の集合である。

$$ \begin{cases} -x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2 & \left(0 \leqq x \leqq \frac{1}{4} \text{ のとき}\right) \\ -x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x} & \left(\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3} \text{ のとき}\right) \\ -4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x} & \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2} \text{ のとき}\right) \\ 0 \leqq y \leqq -x + 1 & \left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \text{ のとき}\right) \end{cases} $$

図示すると、上記の不等式が表す領域（境界線をすべて含む）となる。