東北大学 2012年 理系 第1問 解説

方針・初手

（1） は $x,y$ を $s,t$ で表した式が一次式なので，まず $s,t$ を $x,y$ で表し直せばよい。

（2） は $y=s+t-1$ から $t$ を消去し，$x$ を $s$ の二次式として見ると，点 $(x,y)$ の取りうる範囲が読み取りやすい。

解法1

(1)

与式

$$ x=s+t+1,\qquad y=s-t-1 $$

より，

$$ x+y=2s,\qquad x-y=2t+2 $$

である。したがって，

$$ s=\frac{x+y}{2},\qquad t=\frac{x-y-2}{2} $$

となる。

ここで条件は $s\geqq 0,\ t\geqq 0$ であるから，

$$ \frac{x+y}{2}\geqq 0,\qquad \frac{x-y-2}{2}\geqq 0 $$

すなわち，

$$ x+y\geqq 0,\qquad x-y\geqq 2 $$

である。

よって，点 $(x,y)$ の動く範囲は

$$ y\geqq -x,\qquad y\leqq x-2 $$

を同時に満たす部分である。これは直線 $y=-x$ と $y=x-2$ に挟まれた部分であり，境界を含む。

2直線の交点は

$$ -x=x-2 $$

より $x=1,\ y=-1$ である。したがって，頂点 $(1,-1)$ をもつ角の内部およびその境界が求める範囲である。

(2)

与式

$$ x=st+s-t+1,\qquad y=s+t-1 $$

において，

$$ t=y+1-s $$

とおける。これを $x$ に代入すると，

$$ \begin{aligned} x &=s(y+1-s)+s-(y+1-s)+1\\ &=-s^2+(y+3)s-y \end{aligned} $$

となる。

これは $s$ についての下に凸の二次式であるから，固定した $y$ に対して $x$ は最大値をもち，その最大値は頂点で与えられる。平方完成すると，

$$ \begin{aligned} x &=-\left(s-\frac{y+3}{2}\right)^2+\frac{(y+3)^2}{4}-y\\ &=-\left(s-\frac{y+3}{2}\right)^2+\frac{y^2+2y+9}{4} \end{aligned} $$

である。

したがって，

$$ x\leqq \frac{y^2+2y+9}{4} =\frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

が成り立つ。

逆に，固定した $y$ に対し，$s$ を実数全体に動かすと

$$ -\left(s-\frac{y+3}{2}\right)^2 $$

は $0$ 以下のすべての値をとるので，

$$ x\leqq \frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

を満たす $x$ はすべて実現できる。

よって，点 $(x,y)$ の動く範囲は

$$ x\leqq \frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

を満たす部分，すなわち放物線

$$ x=\frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

の左側の部分であり，境界を含む。頂点は $(2,-1)$ である。

解説

（1） は一次変換なので，$s,t$ の条件をそのまま $x,y$ の不等式に直せばよい。

（2） は $y$ を固定して $x$ を見るのが基本である。$x$ が $s$ の二次式になるので，最大値を調べれば図形が放物線の片側で表されることが分かる。図示問題では，「境界が実際に取れるか」も確認しておくと確実である。

答え

(1)

$$ y\geqq -x,\qquad y\leqq x-2 $$

を満たす部分。すなわち，直線 $y=-x$ と $y=x-2$ に挟まれた領域（境界を含む）であり，頂点は $(1,-1)$ である。

(2)

$$ x\leqq \frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

を満たす部分。すなわち，放物線

$$ x=\frac{(y+1)^2}{4}+2 $$

の左側の領域（境界を含む）であり，頂点は $(2,-1)$ である。