東北大学 1977年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた条件は、$f$ の根どうし、$g$ の根どうしを互いに写し合う形になっている。したがって、まず

• $g(\alpha)=\beta,\ g(\beta)=\alpha$ を引き算する
• $f(\gamma)=\delta,\ f(\delta)=\gamma$ を引き算する

ことで、根の和や重解条件に関する強い制約を取り出すのが自然である。

解法1

$f(x)=x^2+ax+\dfrac14$ の 2 つの解を $\alpha,\beta$、$g(x)=x^2-x+b$ の 2 つの解を $\gamma,\delta$ とする。

まず、$f,g$ に対する解と係数の関係から

$$ \alpha+\beta=-a,\quad \alpha\beta=\frac14, $$

$$ \gamma+\delta=1,\quad \gamma\delta=b $$

が成り立つ。

次に、条件

$$ g(\alpha)=\beta,\quad g(\beta)=\alpha $$

を用いる。両式を引くと

$$ (\alpha^2-\alpha+b)-(\beta^2-\beta+b)=\beta-\alpha $$

すなわち

$$ (\alpha-\beta)(\alpha+\beta-1)=-(\alpha-\beta) $$

であるから、

$$ (\alpha-\beta)(\alpha+\beta)=0 $$

を得る。

したがって

$$ \alpha=\beta \quad \text{または} \quad \alpha+\beta=0 $$

である。

同様に、条件

$$ f(\gamma)=\delta,\quad f(\delta)=\gamma $$

を用いて両式を引くと

$$ (\gamma^2+a\gamma+\tfrac14)-(\delta^2+a\delta+\tfrac14)=\delta-\gamma $$

より

$$ (\gamma-\delta)(\gamma+\delta+a)=-(\gamma-\delta) $$

したがって

$$ (\gamma-\delta)(\gamma+\delta+a+1)=0 $$

となる。ここで $\gamma+\delta=1$ なので、

$$ (\gamma-\delta)(a+2)=0 $$

を得る。

ここで $\gamma\neq\delta$ と仮定すると、$a+2=0$、すなわち

$$ a=-2 $$

である。

すると $\alpha+\beta=-a=2$ だから、先ほどの

$$ (\alpha-\beta)(\alpha+\beta)=0 $$

より $\alpha-\beta=0$、すなわち $\alpha=\beta$ でなければならない。しかし、$\alpha=\beta$ なら $f(x)=0$ は重解をもつので判別式が $0$ である必要がある。ところが $a=-2$ のとき

$$ a^2-1=4-1=3\neq 0 $$

となり矛盾する。

よって

$$ \gamma=\delta $$

である。したがって $g(x)=0$ は重解をもち、その重解は $\dfrac12$ であるから

$$ b=\frac14,\quad \gamma=\delta=\frac12 $$

となる。

このとき条件 $f(\gamma)=\delta$ に $\gamma=\delta=\dfrac12$ を代入すると

$$ f\left(\frac12\right)=\frac12 $$

すなわち

$$ \left(\frac12\right)^2+a\left(\frac12\right)+\frac14=\frac12 $$

であるから

$$ \frac14+\frac a2+\frac14=\frac12 $$

$$ \frac a2=0 $$

よって

$$ a=0 $$

を得る。

最後に、この $a=0,\ b=\dfrac14$ が実際に条件を満たすことを確認する。

このとき

$$ f(x)=x^2+\frac14,\quad g(x)=x^2-x+\frac14 $$

である。$f(x)=0$ の解 $\alpha,\beta$ は

$$ \alpha+\beta=0,\quad \alpha\beta=\frac14 $$

を満たすので $\beta=-\alpha$ であり、さらに

$$ \alpha^2=-\frac14,\quad \beta^2=-\frac14 $$

である。したがって

$$ g(\alpha)=\alpha^2-\alpha+\frac14=-\alpha=\beta $$

同様に

$$ g(\beta)=\beta^2-\beta+\frac14=-\beta=\alpha $$

となる。

また $g(x)=0$ は重解 $\dfrac12$ をもち、

$$ f\left(\frac12\right)=\frac14+\frac14=\frac12 $$

より

$$ f(\gamma)=\delta,\quad f(\delta)=\gamma $$

も満たされる。

以上より求める値は

$$ a=0,\quad b=\frac14 $$

である。

解説

この問題の要点は、条件をそのまま代入して計算するのではなく、対応する 2 式を引き算して「根が一致するか」「根の和が特別な値になるか」を先に絞ることである。

特に

$$ (\alpha-\beta)(\alpha+\beta)=0,\qquad (\gamma-\delta)(a+2)=0 $$

という 2 つの関係が決定的であり、ここから重解の可能性と判別式を組み合わせると、一気に $g$ が重解をもつことが分かる。その後は $\gamma=\delta=\dfrac12$ を代入して $a$ を求めればよい。

答え

$$ a=0,\quad b=\frac14 $$