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東北大学 1977年文系第5問解説

方針・初手

曲線 $C: y=x^2 \ (x \geqq 0)$ と直線 $y=a$ の交点の $x$ 座標が $b$ であることから、関係式 $a=b^2$ を導きます。面積 $S$ および $T$ を定積分を用いて立式し、その大小関係を調べるために差 $T-S$ を計算して符号を判定します。

解法1

$C: y = x^2 \ (x \geqq 0)$ と直線 $y = a$ の交点の $x$ 座標が $b$ であるから、$a > 0$ より $b > 0$ であり、$a = b^2$ が成り立つ。

$S$ は $C$、$y=a$、$x=0$ で囲まれた部分の面積である。区間 $0 \leqq x \leqq b$ において $a \geqq x^2$ であるから、

$$ S = \int_0^b (a - x^2) dx = - \int_0^b (x^2 - a) dx $$

となる。

$T$ は $C$、$y=a$、$x=kb$ で囲まれた部分の面積である。$k > 1$ より $kb > b$ であるから、この領域は区間 $b \leqq x \leqq kb$ にある。この区間において $x^2 \geqq a$ であるから、

$$ T = \int_b^{kb} (x^2 - a) dx $$

となる。

ここで、$S$ と $T$ の大小関係を調べるため、$T - S$ を計算する。

$$ T - S = \int_b^{kb} (x^2 - a) dx - \left( - \int_0^b (x^2 - a) dx \right) $$

$$ T - S = \int_b^{kb} (x^2 - a) dx + \int_0^b (x^2 - a) dx $$

積分の性質より積分区間をつなげることができるため、

$$ T - S = \int_0^{kb} (x^2 - a) dx $$

となる。これを計算すると、

$$ T - S = \left[ \frac{1}{3}x^3 - ax \right]_0^{kb} = \frac{1}{3}(kb)^3 - a(kb) $$

ここで、$a = b^2$ を代入して整理する。

$$ T - S = \frac{1}{3}k^3b^3 - kb^3 $$

$$ T - S = \frac{1}{3}b^3 (k^3 - 3k) $$

$$ T - S = \frac{1}{3}b^3 k (k^2 - 3) $$

$b > 0$ かつ $k > 1$ であるから、$\frac{1}{3}b^3 k > 0$ である。したがって、$T - S$ の符号は $k^2 - 3$ の符号と一致する。 $k > 1$ の範囲で場合分けを行う。

(i) $1 < k < \sqrt{3}$ のとき $k^2 - 3 < 0$ となるから、$T - S < 0$ すなわち $S > T$ である。

(ii) $k = \sqrt{3}$ のとき $k^2 - 3 = 0$ となるから、$T - S = 0$ すなわち $S = T$ である。

(iii) $k > \sqrt{3}$ のとき $k^2 - 3 > 0$ となるから、$T - S > 0$ すなわち $S < T$ である。

解法2

$S$ と $T$ をそれぞれ個別に計算し、その差をとる方針で解く。 $a = b^2$ を用いて、面積 $S$ を計算する。

$$ S = \int_0^b (a - x^2) dx = \left[ ax - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^b $$

$$ S = ab - \frac{1}{3}b^3 = b^3 - \frac{1}{3}b^3 = \frac{2}{3}b^3 $$

次に面積 $T$ を計算する。

$$ T = \int_b^{kb} (x^2 - a) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - ax \right]_b^{kb} $$

$$ T = \left( \frac{1}{3}k^3b^3 - akb \right) - \left( \frac{1}{3}b^3 - ab \right) $$

$a=b^2$ を代入して整理する。

$$ T = \frac{1}{3}k^3b^3 - kb^3 - \frac{1}{3}b^3 + b^3 = \frac{1}{3}b^3(k^3 - 3k + 2) $$

$T$ と $S$ の差をとる。

$$ T - S = \frac{1}{3}b^3(k^3 - 3k + 2) - \frac{2}{3}b^3 $$

$$ T - S = \frac{1}{3}b^3(k^3 - 3k + 2 - 2) $$

$$ T - S = \frac{1}{3}b^3(k^3 - 3k) = \frac{1}{3}b^3 k (k^2 - 3) $$

以降の場合分けは解法1と同様である。

解説

大小関係を調べるためには差をとって符号を調べるのが基本です。本問では、図形の配置関係から $S$ と $T$ をそれぞれ求める定積分の被積分関数が符号違いになることに着目し、$T-S$ を作って積分区間をつなげる処理（解法1）を行うと、計算量が大幅に軽減されます。このような「面積の差を1つの定積分で表す」手法は、いわゆる「1/6公式」の導出や、面積を二等分する問題などでも頻出する重要な定石です。