トップ› 東北大学› 1970年› 文系第1問

東北大学 1970年文系第1問解説

方針・初手

(1) は $\alpha$ が $f(x) = 0$ の根であること、すなわち $\alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0$ を用いて式の値を求める問題である。そのまま代入して得られる高次式に対し、$\alpha^3 = 3\alpha - 1$ を用いて次数を下げる方法と、$f(x^2 - 2)$ という多項式自体を $f(x)$ でくくり出す（割り算する）方法が考えられる。

(2) は与えられた2次方程式に $\beta$ を代入し、$\beta \neq 0$ に注意して両辺を $\beta$ で割ることで $\beta + \beta^{-1} = \alpha$ の関係を導く。その後は対称式の変形を用いて $\alpha$ の式で表し、ふたたび $f(\alpha) = 0$ の条件を利用する。

解法1

(1) $\alpha$ は $f(x) = 0$ の根であるから、$f(\alpha) = 0$ すなわち以下が成り立つ。

$$ \alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0 $$

これを変形し、$\alpha^3 = 3\alpha - 1$ を得る。求める値 $f(\alpha^2 - 2)$ は次のように展開できる。

$$ \begin{aligned} f(\alpha^2 - 2) &= (\alpha^2 - 2)^3 - 3(\alpha^2 - 2) + 1 \\ &= \alpha^6 - 6\alpha^4 + 12\alpha^2 - 8 - 3\alpha^2 + 6 + 1 \\ &= \alpha^6 - 6\alpha^4 + 9\alpha^2 - 1 \end{aligned} $$

次数下げを行うため、$\alpha^4$ と $\alpha^6$ を $\alpha$ の2次以下の式で表す。

$$ \begin{aligned} \alpha^4 &= \alpha \cdot \alpha^3 \\ &= \alpha(3\alpha - 1) \\ &= 3\alpha^2 - \alpha \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \alpha^6 &= (\alpha^3)^2 \\ &= (3\alpha - 1)^2 \\ &= 9\alpha^2 - 6\alpha + 1 \end{aligned} $$

これらを展開した式に代入する。

$$ \begin{aligned} f(\alpha^2 - 2) &= (9\alpha^2 - 6\alpha + 1) - 6(3\alpha^2 - \alpha) + 9\alpha^2 - 1 \\ &= 9\alpha^2 - 6\alpha + 1 - 18\alpha^2 + 6\alpha + 9\alpha^2 - 1 \\ &= (9 - 18 + 9)\alpha^2 + (-6 + 6)\alpha + (1 - 1) \\ &= 0 \end{aligned} $$

(2) $\beta$ は $x^2 - \alpha x + 1 = 0$ の根であるから、以下が成り立つ。

$$ \beta^2 - \alpha \beta + 1 = 0 $$

ここで $\beta = 0$ と仮定すると $1 = 0$ となり矛盾するため、$\beta \neq 0$ である。両辺を $\beta$ で割って整理する。

$$ \beta - \alpha + \frac{1}{\beta} = 0 $$

$$ \beta + \beta^{-1} = \alpha $$

求める値 $\beta^3 + \beta^{-3}$ は、対称式の基本変形を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \beta^3 + \beta^{-3} &= (\beta + \beta^{-1})^3 - 3\beta \cdot \beta^{-1}(\beta + \beta^{-1}) \\ &= \alpha^3 - 3\alpha \end{aligned} $$

(1) の冒頭で確認した通り $\alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0$ が成り立つため、$\alpha^3 - 3\alpha = -1$ である。したがって、求める値は以下のようになる。

$$ \beta^3 + \beta^{-3} = -1 $$

解法2

(1) 多項式 $f(x^2 - 2)$ を計算し、$f(x)$ で表すことを考える。

$$ \begin{aligned} f(x^2 - 2) &= (x^2 - 2)^3 - 3(x^2 - 2) + 1 \\ &= x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8 - 3x^2 + 6 + 1 \\ &= x^6 - 6x^4 + 9x^2 - 1 \\ &= x^2(x^2 - 3)^2 - 1 \\ &= (x^3 - 3x)^2 - 1 \end{aligned} $$

平方の差の公式により因数分解する。

$$ \begin{aligned} f(x^2 - 2) &= (x^3 - 3x - 1)(x^3 - 3x + 1) \\ &= (x^3 - 3x - 1)f(x) \end{aligned} $$

ここで $\alpha$ は $f(x) = 0$ の根であるから、$f(\alpha) = 0$ である。この恒等式に $x = \alpha$ を代入すると、以下の結果を得る。

$$ f(\alpha^2 - 2) = (\alpha^3 - 3\alpha - 1)f(\alpha) = 0 $$

解説

(1) のような高次式の値の計算では、等式（この場合は $\alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0$）を用いて次数を下げる手法が基本となる。また、代入する多項式全体を方程式となる多項式で割り算し、その余りを求める手法（解法2の方針）も汎用性が高く、計算ミスを減らしやすい。本問では展開結果が鮮やかに因数分解できる形になっている。

(2) は相反方程式に似た形をしている。$x^2 - \alpha x + 1 = 0$ のような方程式に対しては、根が $0$ でないことを確認したうえで両辺を $x$ で割ることで $x + \frac{1}{x}$ の形を作り出す定石が極めて有効である。