東北大学 1979年 文系 第3問 解説

方針・初手

まず $f(x)$ を因数分解して、$x$ 軸との交点を求める。

次に、その点での接線は $f'(x)$ を用いればただちに求まる。

面積については、2本の接線がつくる折れ線と曲線との位置関係を確認し、区間を分けて積分する。あるいは、$x$ 軸を補助的に用いると計算を簡潔にできる。

解法1

$ f(x) $ を因数分解すると

$$ f(x)=x^4-x^3+x^2-x=x(x^3-x^2+x-1)=x(x-1)(x^2+1) $$

である。

したがって $f(x)=0$ より

$$ x(x-1)(x^2+1)=0 $$

となるが、$x^2+1=0$ は実数解をもたないから、

$$ x=0,\ 1 $$

である。よって、$x$ 軸との交点は

$$ (0,0),\ (1,0) $$

である。

次に、導関数は

$$ f'(x)=4x^3-3x^2+2x-1 $$

である。

$(0,0)$ における接線

$$ f'(0)=-1 $$

より、接線は

$$ y=-x $$

である。

$(1,0)$ における接線

$$ f'(1)=4-3+2-1=2 $$

より、接線は

$$ y=2(x-1)=2x-2 $$

である。

したがって、求める接線は

$$ y=-x,\qquad y=2x-2 $$

である。

次に、囲まれた部分の面積を求める。

曲線と直線 $y=-x$ の差は

$$ f(x)-(-x)=x^4-x^3+x^2=x^2(x^2-x+1) $$

である。ここで

$$ x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0 $$

だから、$x\neq 0$ で

$$ f(x)>-x $$

である。

同様に、曲線と直線 $y=2x-2$ の差は

$$ f(x)-(2x-2)=x^4-x^3+x^2-3x+2=(x-1)^2(x^2+x+2) $$

であり、$x\neq 1$ で

$$ f(x)>2x-2 $$

である。

また、2本の接線の交点は

$$ -x=2x-2 $$

より

$$ x=\frac23,\qquad y=-\frac23 $$

である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{2/3}{f(x)+x},dx+\int_{2/3}^1{f(x)-(2x-2)},dx $$

となる。

まず

$$ f(x)+x=x^4-x^3+x^2 $$

であるから、

$$ \int_0^{2/3}(x^4-x^3+x^2),dx =\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]_0^{2/3} =\frac{92}{1215} $$

である。

次に

$$ f(x)-(2x-2)=x^4-x^3+x^2-3x+2 $$

より、

$$ \int_{2/3}^1(x^4-x^3+x^2-3x+2),dx =\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]_{2/3}^1 =\frac{199}{4860} $$

である。

よって

$$ S=\frac{92}{1215}+\frac{199}{4860} =\frac{368+199}{4860} =\frac{567}{4860} =\frac{7}{60} $$

となる。

解法2

面積計算だけを別の見方で行う。

区間 $0<x<1$ では

$$ f(x)=x(x-1)(x^2+1)<0 $$

であるから、曲線は $x$ 軸の下側にある。

また、接線 $y=-x,\ y=2x-2$ も、それぞれ $(0,0)$, $(1,0)$ を通り、その交点は

$$ \left(\frac23,-\frac23\right) $$

であるから、2本の接線と $x$ 軸でできる部分は三角形であり、その面積は

$$ \frac12\cdot 1\cdot \frac23=\frac13 $$

である。

一方、曲線と $x$ 軸ではさまれる部分の面積は

$$ -\int_0^1 f(x),dx $$

である。実際、

$$ \int_0^1 f(x),dx =\int_0^1 (x^4-x^3+x^2-x),dx =\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 =\frac15-\frac14+\frac13-\frac12 =-\frac{13}{60} $$

だから、その面積は

$$ \frac{13}{60} $$

である。

したがって、求める面積は

$$ \frac13-\frac{13}{60}=\frac{20}{60}-\frac{13}{60}=\frac{7}{60} $$

となる。

解説

この問題の要点は、まず

$$ f(x)=x(x-1)(x^2+1) $$

と因数分解できることに気づくことである。これにより、$x$ 軸との交点がすぐに分かる。

面積では、曲線と各接線の大小関係をきちんと確認することが重要である。接線は接点以外では曲線の下側にあり、2本の接線は途中で交わるため、積分は交点 $x=\frac23$ で区切る必要がある。

また、解法2のように $x$ 軸を補助的に用いると、三角形の面積と $\int_0^1 f(x),dx$ だけで処理でき、計算がかなり簡潔になる。

答え

$x$ 軸との交点は

$$ (0,0),\ (1,0) $$

である。

それぞれの点における接線は

$$ y=-x,\qquad y=2x-2 $$

である。

これらの接線と曲線で囲まれた部分の面積は

$$ \frac{7}{60} $$

である。