東北大学 2012年 文系 第1問 解説

方針・初手

曲線 $C:y=x^2$ の $x=t$ における接線の傾きは $2t$ であるから，それに直交する法線の傾きは $-\dfrac{1}{2t}$ である。まず $P,Q$ における法線 $l,m$ の式を求める。

さらに，$l$ と $m$ の交点が $C$ 上にあり，しかもその点は $l$ 上にもあるので，その点は $l$ と $C$ の交点のいずれかである。この見方を使うと，$a$ を素直に決定できる。

解法1

曲線 $C:y=x^2$ の $x=t$ における法線は

$$ y-t^2=-\frac{1}{2t}(x-t) $$

すなわち

$$ y=-\frac{x}{2t}+t^2+\frac12 $$

である。

したがって，$P\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ における法線 $l$ は

$$ y=-x+\frac34 $$

であり，$Q(a,a^2)$ における法線 $m$ は

$$ y=-\frac{x}{2a}+a^2+\frac12 $$

である。

(1)

まず，$l$ と $C$ の交点を求める。

$$ x^2=-x+\frac34 $$

より，

$$ x^2+x-\frac34=0 $$

であるから，

$$ \left(x-\frac12\right)\left(x+\frac32\right)=0 $$

となる。よって，$l$ と $C$ の交点は

$$ P\left(\frac12,\frac14\right),\quad R\left(-\frac32,\frac94\right) $$

の2点である。

いま，$l$ と $m$ の交点は $C$ 上にあるので，その点は $P$ または $R$ である。

もし $l\cap m=P$ ならば，$P$ は $m$ 上にもあるから，

$$ \frac14-a^2=-\frac{1}{2a}\left(\frac12-a\right) $$

となる。これを整理すると

$$ 4a^3+a-1=0 $$

すなわち

$$ (2a-1)(2a^2+a+1)=0 $$

である。$a>0$ より $a=\dfrac12$ となるが，これは仮定 $a\ne \dfrac12$ に反する。

したがって，$l\cap m$ は $R\left(-\dfrac32,\dfrac94\right)$ である。

この点が $m$ 上にあるので，

$$ \frac94-a^2=-\frac{1}{2a}\left(-\frac32-a\right) $$

すなわち

$$ \frac94-a^2=\frac{3}{4a}+\frac12 $$

である。両辺に $4a$ を掛けて整理すると，

$$ 4a^3-7a+3=0 $$

となる。これを因数分解すると，

$$ (a-1)(2a-1)(2a+3)=0 $$

である。

$a>0,\ a\ne \dfrac12$ より，

$$ a=1 $$

である。

(2)

$a=1$ であるから，

$$ Q=(1,1),\quad m:\ y=-\frac{x}{2}+\frac32 $$

となる。

求めるのは，$2$直線 $l,m$ と曲線 $C$ で囲まれた図形のうち，$y$ 軸の右側，すなわち $x\ge 0$ の部分の面積である。

$x=0$ から $x=\dfrac12$ までは，上側の境界は $l$，下側の境界は $C$ である。 また，$x=\dfrac12$ から $x=1$ までは，上側の境界は $m$，下側の境界は $C$ である。

よって，求める面積を $S$ とすると，

$$ S=\int_0^{1/2}\left{\left(-x+\frac34\right)-x^2\right},dx +\int_{1/2}^{1}\left{\left(-\frac{x}{2}+\frac32\right)-x^2\right},dx $$

である。

第1項は

$$ \int_0^{1/2}\left(-x+\frac34-x^2\right),dx =\left[-\frac{x^2}{2}+\frac{3x}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_0^{1/2} =\frac{5}{24} $$

第2項は

$$ \int_{1/2}^{1}\left(-\frac{x}{2}+\frac32-x^2\right),dx =\left[-\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{1/2}^{1} =\frac{13}{48} $$

である。

したがって，

$$ S=\frac{5}{24}+\frac{13}{48}=\frac{23}{48} $$

となる。

解説

交点 $l\cap m$ が $C$ 上にあるという条件を，$l$ と $m$ の連立から直接扱うと式が重くなりやすい。この問題では，その交点が同時に $l$ 上にもあることから，まず $l$ と $C$ の交点を求めるのが有効である。

面積については，右側部分では上側の境界が $x=\dfrac12$ を境に $l$ から $m$ に切り替わるので，積分区間を分けることが要点である。

答え

$$ a=1 $$

求める面積は

$$ \frac{23}{48} $$