東北大学 1976年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた2つの定積分の条件式を計算し、$f(x)$ の係数 $b, c$ を $a$ を用いて表すことから始める。その後、(1) では導関数を利用して接線の方程式を求める。 (2) では面積を求めるが、2次関数の係数であるため $a \neq 0$ となることに注意し、$a$ の符号によって曲線と接線、および $x$ 軸の位置関係が変わるため、$a < 0$ と $0 < a < \frac{1}{2}$ で場合分けを行って面積を計算する。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

条件 $\int_{0}^{3} f(x)dx = \frac{9}{2}$ より、

$$ \int_{0}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{0}^{3} = 9a + \frac{9}{2}b + 3c $$

よって、$9a + \frac{9}{2}b + 3c = \frac{9}{2}$ となり、両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けて整理すると、

$$ 6a + 3b + 2c = 3 \quad \cdots \text{①} $$

次に、条件 $\int_{0}^{2} x f(x)dx = \frac{4}{3}(2 - a)$ より、

$$ \int_{0}^{2} (ax^3 + bx^2 + cx) dx = \left[ \frac{a}{4}x^4 + \frac{b}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 \right]_{0}^{2} = 4a + \frac{8}{3}b + 2c $$

よって、$4a + \frac{8}{3}b + 2c = \frac{8}{3} - \frac{4}{3}a$ となり、両辺に $3$ を掛けて整理すると、

$$ 12a + 8b + 6c = 8 - 4a \implies 8a + 4b + 3c = 4 \quad \cdots \text{②} $$

① $\times 3$ - ② $\times 2$ を計算して $c$ を消去する。

$$ (18a + 9b + 6c) - (16a + 8b + 6c) = 9 - 8 $$

$$ 2a + b = 1 \implies b = 1 - 2a $$

これを①に代入して、

$$ 6a + 3(1 - 2a) + 2c = 3 \implies 2c = 0 \implies c = 0 $$

以上より、$f(x) = ax^2 + (1 - 2a)x$ と求まる。

(1) $f(x)$ を微分すると、$f'(x) = 2ax + 1 - 2a$ となる。 $x = 1$ のときの $y$ 座標は $f(1) = a + (1 - 2a) = 1 - a$。 接線の傾きは $f'(1) = 2a + 1 - 2a = 1$。 したがって、点 $(1, 1 - a)$ における接線 $l$ の方程式は、

$$ y - (1 - a) = 1 \cdot (x - 1) $$

$$ y = x - a $$

(2) 関数 $f(x)$ は2次関数であるから、$a \neq 0$ である。 与えられた条件 $a < \frac{1}{2}$ より、$0 < a < \frac{1}{2}$ または $a < 0$ である。 曲線 $y = f(x)$ と接線 $l$ の上下関係を調べるため、差をとる。

$$ f(x) - (x - a) = ax^2 - 2ax + a = a(x - 1)^2 $$

また、接線 $l$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$x - a = 0$ より $x = a$ である。

(i) $0 < a < \frac{1}{2}$ のとき $a > 0$ であるから、すべての $x$ に対して $f(x) \ge x - a$ となり、曲線は接線の上側にある。 交点の $x$ 座標の大小関係は $0 < a < 1$ であり、直線 $x=1$ の左側において囲まれる領域は $0 \le x \le 1$ にある。 $0 \le x \le a$ の範囲では $x$ 軸と曲線、 $a \le x \le 1$ の範囲では接線と曲線で囲まれるため、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ S = \int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{a}^{1} \{ f(x) - (x - a) \} dx = \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{a}^{1} (x - a) dx $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{1} f(x) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{1 - 2a}{2}x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{a}{3} + \frac{1 - 2a}{2} = \frac{3 - 4a}{6} $$

$$ \int_{a}^{1} (x - a) dx = \left[ \frac{1}{2}(x - a)^2 \right]_{a}^{1} = \frac{1}{2}(1 - a)^2 $$

したがって、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{3 - 4a}{6} - \frac{1 - 2a + a^2}{2} \\ &= \frac{3 - 4a - 3(1 - 2a + a^2)}{6} \\ &= \frac{-3a^2 + 2a}{6} \end{aligned} $$

(ii) $a < 0$ のとき $a < 0$ であるから、すべての $x$ に対して $f(x) \le x - a$ となり、曲線は接線の下側にある。 交点の $x$ 座標の大小関係は $a < 0 < 1$ であり、直線 $x=1$ の左側において囲まれる領域は $a \le x \le 1$ にある。 $a \le x \le 0$ の範囲では $x$ 軸と接線、 $0 \le x \le 1$ の範囲では曲線と接線で囲まれるため、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ S = \int_{a}^{0} (x - a) dx + \int_{0}^{1} \{ (x - a) - f(x) \} dx = \int_{a}^{1} (x - a) dx - \int_{0}^{1} f(x) dx $$

これは (i) で計算した式の符号を逆にしたものに等しいので、

$$ S = -\frac{-3a^2 + 2a}{6} = \frac{3a^2 - 2a}{6} $$

以上より、面積 $S$ は $a$ の関数として次のように表される。

$$ S = \begin{cases} \frac{1}{6}(3a^2 - 2a) & (a < 0) \\ \frac{1}{6}(-3a^2 + 2a) & \left(0 < a < \frac{1}{2}\right) \end{cases} $$

グラフを描くために、それぞれを平方完成する。

$$ \begin{aligned} a < 0 \text{ のとき：} \quad S &= \frac{1}{2}\left(a^2 - \frac{2}{3}a\right) = \frac{1}{2}\left(a - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{18} \\ 0 < a < \frac{1}{2} \text{ のとき：} \quad S &= -\frac{1}{2}\left(a^2 - \frac{2}{3}a\right) = -\frac{1}{2}\left(a - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{18} \end{aligned} $$

したがって、グラフの概形は以下の特徴を持つ。

• $a < 0$ の範囲では、頂点が $\left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{18}\right)$ で下に凸の放物線の一部であり、単調減少する。
• $0 < a < \frac{1}{2}$ の範囲では、頂点が $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{18}\right)$ で上に凸の放物線の一部である。
• $a \to 0$ のとき $S \to 0$ となり、原点 $(0, 0)$ はグラフに含まれない（白丸）。
• $a \to \frac{1}{2}$ のとき $S \to \frac{1}{24}$ となり、点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{24}\right)$ はグラフに含まれない（白丸）。

解説

(1) は定積分の計算から未定係数を決定し、微分を用いて接線を求める標準的な問題である。計算ミスに注意して確実に得点したい。 (2) は「2次関数」という前提から $a \neq 0$ となることを見落とさないことが重要である。また、面積を求める際に、曲線と接線、および $x$ 軸との位置関係が $a$ の符号によって変化するため、$0 < a < \frac{1}{2}$ と $a < 0$ で場合分けを行って定積分を立式する必要がある。定積分の計算においては、接線と $x$ 軸で囲まれる部分を三角形の面積として処理すると計算量が減り、見通しがよくなる。

答え

(1)

$$ y = x - a $$

(2)

$$ S = \begin{cases} \frac{3a^2 - 2a}{6} & (a < 0) \\ \frac{-3a^2 + 2a}{6} & \left(0 < a < \frac{1}{2}\right) \end{cases} $$

グラフは、横軸を $a$、縦軸を $S$ としたとき、$a < 0$ では頂点 $\left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{18}\right)$ の下に凸の放物線の一部、$0 < a < \frac{1}{2}$ では頂点 $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{18}\right)$ の上に凸の放物線の一部となる。ただし、点 $(0,0)$ および 点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{24}\right)$ は白丸として含まれない。