東北大学 1981年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は絶対値記号を含む関数のグラフを描く問題である。関数が $f(-x) = f(x)$ を満たす偶関数であることに着目し、まずは $x \ge 0$ の範囲において絶対値記号を外すことを考える。絶対値の中身の正負によって場合分けを行う。

(2) は (1) で求めたグラフと放物線で囲まれる領域を回転させる体積計算である。対称性から第1象限（$x \ge 0$）における領域を $y$ 軸のまわりに1回転させることと同値であると分かる。回転体の体積を求める方法としては、$y$ 軸に垂直にスライスして円板の面積を積分する標準的な方法（解法1）と、円筒分割法（バームクーヘン積分）を用いる方法（解法2）が考えられる。

解法1

(1)

与えられた関数を $y = f(x)$ とおく。

$$ f(x) = 2|x| - \frac{3}{2} + 2\left| |x| - \frac{3}{4} \right| $$

$f(-x) = f(x)$ が成り立つため、この関数のグラフは $y$ 軸に関して対称である。したがって、まず $x \ge 0$ の範囲について調べる。 $x \ge 0$ のとき $|x| = x$ であるから、

$$ f(x) = 2x - \frac{3}{2} + 2\left| x - \frac{3}{4} \right| $$

絶対値の中身の符号で場合分けを行う。

(i) $0 \le x \le \frac{3}{4}$ のとき $x - \frac{3}{4} \le 0$ より $\left| x - \frac{3}{4} \right| = -\left( x - \frac{3}{4} \right)$ となるため、

$$ f(x) = 2x - \frac{3}{2} - 2\left( x - \frac{3}{4} \right) = 0 $$

(ii) $x > \frac{3}{4}$ のとき $x - \frac{3}{4} > 0$ より $\left| x - \frac{3}{4} \right| = x - \frac{3}{4}$ となるため、

$$ f(x) = 2x - \frac{3}{2} + 2\left( x - \frac{3}{4} \right) = 4x - 3 $$

これと $y$ 軸に関する対称性を用いると、全区間における関数の式は次のように表される。

$$ y = \begin{cases} -4x - 3 & \left( x < -\frac{3}{4} \right) \\ 0 & \left( -\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{4} \right) \\ 4x - 3 & \left( x > \frac{3}{4} \right) \end{cases} $$

グラフは $x$ 軸上の線分とその両端から伸びる半直線からなる折れ線となる。

(2)

(1)のグラフと放物線 $y = x^2 + 1$ で囲まれる領域は $y$ 軸に関して対称である。これを $y$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積 $V$ は、$x \ge 0$ の部分における領域を $y$ 軸まわりに1回転させて得られる立体の体積に等しい。

$x \ge 0$ の範囲において、放物線と $y = f(x)$ の交点を求める。 $x \ge 0$ かつ $y > 0$ で交わる可能性があるのは $y = 4x - 3$ の部分であるから、

$$ x^2 + 1 = 4x - 3 $$

$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$

$$ (x - 2)^2 = 0 $$

これより $x = 2$ となり、点 $(2, 5)$ で放物線と直線は接することが分かる。 また、$0 \le x < 2$ において $x^2 + 1 > f(x)$ であるから、回転させる領域は $0 \le y \le 5$ の範囲に存在する。

$y$ 軸に沿って積分する（円板から円板をくり抜く）方法で体積を計算する。 立体の外側の境界は $x \ge 0$ の範囲の $y = f(x)$ の逆関数である。

$$ y = 4x - 3 \implies x = \frac{y + 3}{4} \quad (0 \le y \le 5) $$

内側の境界は、放物線 $y = x^2 + 1$ の逆関数および $y$ 軸である。

$$ y = x^2 + 1 \implies x = \sqrt{y - 1} \quad (1 \le y \le 5) $$

$0 \le y \le 1$ では内側の境界は $x = 0$ となる。 したがって、体積 $V$ は以下の積分で求まる。

$$ V = \pi \int_{0}^{5} \left( \frac{y + 3}{4} \right)^2 dy - \pi \int_{1}^{5} \left( \sqrt{y - 1} \right)^2 dy $$

それぞれの積分を計算する。第1項は、

$$ \pi \int_{0}^{5} \frac{(y + 3)^2}{16} dy = \frac{\pi}{16} \left[ \frac{(y + 3)^3}{3} \right]_{0}^{5} = \frac{\pi}{48} (8^3 - 3^3) = \frac{485}{48}\pi $$

第2項は、

$$ \pi \int_{1}^{5} (y - 1) dy = \pi \left[ \frac{(y - 1)^2}{2} \right]_{1}^{5} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - 0 \right) = 8\pi $$

これらを差し引いて、

$$ V = \frac{485}{48}\pi - 8\pi = \frac{485 - 384}{48}\pi = \frac{101}{48}\pi $$

解法2

(2) の別解（円筒分割法）

$x \ge 0$ における領域を円筒分割法（バームクーヘン積分）を用いて回転体の体積 $V$ を求める。

$$ V = 2\pi \int_{0}^{2} x ( \text{上側の曲線} - \text{下側の曲線} ) dx $$

$$ V = 2\pi \int_{0}^{2} x \{ (x^2 + 1) - f(x) \} dx $$

$f(x)$ の定義式が $x = \frac{3}{4}$ を境に変わるため、積分区間を分割する。

$$ \int_{0}^{3/4} x \{ (x^2 + 1) - 0 \} dx = \int_{0}^{3/4} (x^3 + x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3/4} = \frac{81}{1024} + \frac{9}{32} = \frac{369}{1024} $$

$$ \int_{3/4}^{2} x \{ (x^2 + 1) - (4x - 3) \} dx = \int_{3/4}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 \right]_{3/4}^{2} $$

上端 $x=2$ を代入すると、

$$ \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{4}{3} $$

下端 $x=\frac{3}{4}$ を代入すると、

$$ \frac{1}{4} \left(\frac{81}{256}\right) - \frac{4}{3} \left(\frac{27}{64}\right) + 2 \left(\frac{9}{16}\right) = \frac{81}{1024} - \frac{9}{16} + \frac{9}{8} = \frac{81}{1024} + \frac{9}{16} = \frac{81 + 576}{1024} = \frac{657}{1024} $$

引き算をして、

$$ \frac{4}{3} - \frac{657}{1024} = \frac{4096 - 1971}{3072} = \frac{2125}{3072} $$

2つの区間の積分値を足し合わせる。

$$ \frac{369}{1024} + \frac{2125}{3072} = \frac{1107 + 2125}{3072} = \frac{3232}{3072} = \frac{101}{96} $$

したがって、求める体積 $V$ は、

$$ V = 2\pi \times \frac{101}{96} = \frac{101}{48}\pi $$

解説

(1) は偶関数であることを利用して $y$ 軸の右側だけを調べ、後から対称性を利用して全体を描くのが定石である。絶対値の中にさらに絶対値が含まれる場合も、内側から順に正負を判断して外せばよい。 (2) は典型的な回転体の体積の問題であるが、$y$ 軸のまわりの回転体であるため、積分変数の設定に注意が必要である。解法1のように $y$ について積分する場合、内側の空洞部分を正しくくり抜くための立式がポイントとなる。一方、解法2の円筒分割法（バームクーヘン積分）は、$x$ 軸方向の区間の分割は必要になるものの、逆関数を求める手間が省けるため見通しが良くなる。

答え

(1) グラフは点 $(-\frac{3}{4}, 0)$ と $(\frac{3}{4}, 0)$ を結ぶ線分、およびその両端からそれぞれ伸びる半直線 $y = -4x - 3$ $\left( x < -\frac{3}{4} \right)$、$y = 4x - 3$ $\left( x > \frac{3}{4} \right)$ をつないだ折れ線となる。

(2) $$ \frac{101}{48}\pi $$